Определение кратности собственных чисел и векторов

При поиске кратных корней возникают некоторые сложности. Дело в том, что если кратность корня четная, то в этой точке наблюдается экстремум (минимум или максимум) характеристического полинома, а если нечетная – то полином просто меняет знак. Пример приведен на рис. 2.3.1.

Согласно определению [1], корень уравнения ξ имеет кратность k, если не только функция в точке ξ принимает нулевое значение, но и k –1 ее производных:

f ⁽ⁱ⁾(ξ) = 0, i = 0, 1, 2, …, k–1. (2.3.13)

При i = 0 имеем саму функцию. Таким образом, получаем k нулей функции и ее производных.

Рис. 2.3.1 – Поведение характеристического полинома

Учитывая погрешности вычислений на ЭВМ, при четной кратности корня характеристический полином может пройти либо выше, либо ниже нулевой отметки (рис. 2.3.2).

Рис. 2.3.2 – Погрешности при вычислении собственных чисел

Здесь ε и δ – достаточно малые числа. Т.о., программа может либо вообще не найти корня, либо найти сразу два. Поэтому договоримся считать корнем любое число λ _i, для которого | f (λ _i)| < δ. При этом, если два корня λ _i1 и λ _i2 расположены близко друг к другу (т.е. |λ _i1 – λ _i2| < 2ε), то корнем следует считать только один из них, либо за корень принять число, расположенное между ними:

λ _i = (λ _i1 + λ _i2)/2. (2.3.14)

Поиск собственных чисел продолжается до тех пор, пока не будут найдены все, т.е. пока не выполнится условие (2.3.2).