Формула трапеций. В формуле трапеций полагаем, что функция на отрезке [xi, xi+1] заменяется прямой линией, соединяющей точки (xi

В формуле трапеций полагаем, что функция на отрезке [x_i, x_i+1] заменяется прямой линией, соединяющей точки (x_i, y_i) и (x_i+1, y_i+1) (рис. 2.7.3).

Рис. 2.7.3 – Интегрирование формулой трапеций

Несложно записать уравнение прямой, проходящей через две точки:

Интегрируем:

(2.7.9)

Это же выражение можно легко получить из геометрических соображений (см. рис. 2.7.3).

Есть и еще один способ вывода данной формулы. Очевидно, что на каждом интервале функция заменяется полиномом первого порядка. Нам уже известны полиномы, интерполирующие табличную функцию по p+1 точке и дающие при этом степенной полином порядка p – это полиномы Ньютона и Лагранжа. Как уже было сказано, они являются разной формой записи одного и того же полинома, поэтому их применение даст одинаковый результат. Возьмем, например, полином Лагранжа. Тогда

(2.7.10)

Здесь A^* – некоторые квадратурные коэффициенты. Если сетка равномерная, то делаем замену (2.5.9):

(2.7.11)

Т.к. сетка равномерная, квадратурные коэффициенты не зависят от индекса r. Используем выражение (2.5.6) и введем новые коэффициенты H_i:

(2.7.12)

(2.7.13)

Коэффициенты H_i называются коэффициентами Нью­то­на-Котеса. Для построения полинома первого порядка нужны всего две точки (т.е. p = 1), поэтому сетку можно считать равномерной. Интегрируя (2.7.13), получим

(2.7.14)

Т.е. полученное выражение совпадает с (2.7.9). Остается только просуммировать по всем интервалам:

(2.7.15)

Если сетка равномерная, то

(2.7.16)