Формула трапеций. В формуле трапеций полагаем, что функция на отрезке [xi, xi+1] заменяется прямой линией, соединяющей точки (xiВ формуле трапеций полагаем, что функция на отрезке [xi, xi+1] заменяется прямой линией, соединяющей точки (xi, yi) и (xi+1, yi+1) (рис. 2.7.3).
Рис. 2.7.3 – Интегрирование формулой трапеций Несложно записать уравнение прямой, проходящей через две точки:
Интегрируем:
Это же выражение можно легко получить из геометрических соображений (см. рис. 2.7.3). Есть и еще один способ вывода данной формулы. Очевидно, что на каждом интервале функция заменяется полиномом первого порядка. Нам уже известны полиномы, интерполирующие табличную функцию по p+1 точке и дающие при этом степенной полином порядка p – это полиномы Ньютона и Лагранжа. Как уже было сказано, они являются разной формой записи одного и того же полинома, поэтому их применение даст одинаковый результат. Возьмем, например, полином Лагранжа. Тогда
Здесь A* – некоторые квадратурные коэффициенты. Если сетка равномерная, то делаем замену (2.5.9):
Т.к. сетка равномерная, квадратурные коэффициенты не зависят от индекса r. Используем выражение (2.5.6) и введем новые коэффициенты Hi:
Коэффициенты Hi называются коэффициентами Ньютона-Котеса. Для построения полинома первого порядка нужны всего две точки (т.е. p = 1), поэтому сетку можно считать равномерной. Интегрируя (2.7.13), получим
Т.е. полученное выражение совпадает с (2.7.9). Остается только просуммировать по всем интервалам:
Если сетка равномерная, то
|
(2.7.9)
(2.7.10)
(2.7.11)
(2.7.12)
(2.7.13)
(2.7.14)
(2.7.15)
(2.7.16)
