Непрерывные случайные переменные

В противоположность дискретным случайным переменным, рассмотренным в предыдущем подразделе, совокупность возможных значений непрерывной случайной переменной не только не конечна, но и не поддается вычислению. Следовательно, если случайная переменная непрерывна, то она может принять любое действительное значение в некоторых пределах, конечных или бесконечных.

Из приведенных определений дискретных и непрерывных случайных переменных видно, что существует соответствие между понятиями дискретных и непрерывных признаков в теоретической статистике и вероятностными понятиями дискретных и непрерывных случайных переменных. В математической статистике каждый наблюдаемый признак единиц исследуемой совокупности рассматривается как случайная переменная. Такое толкование возможно благодаря допущению, что статистические наблюдения как бы «случайно отобраны» из определенных совокупностей. Если этот признак дискретен, то соответствующим ему понятием в теории вероятностей будет дискретная случайная переменная, если же исследуемый статистический признак непрерывен, то он интерпретируется как непрерывная случайная переменная.

В анализе распределений вероятностей случайных переменных применяется, так называемая, дистрибуанта или функция распределения случайной величины F(x). Это есть функция, выражающая вероятность того, что случайная переменная примет какое-то значение, меньшее x.

F(x) = P{X< x}

Поскольку функция распределения вероятности выражает вероятность некоторого случайного события, то любая (дискретная или непрерывная) случайная переменная удовлетворяет условию:

0≤ F(x)≤ 1

Производная от функции распределения вероятности называется функцией плотности распределения вероятности f(x) или короче – плотностью вероятности

Ее можно истолковать, как среднее «количество вероятности», приходящееся на единицу длины интервала (х, х+Δ х), когда длина этого интервала стремится к нулю. Если случайная переменная X непрерывна в каждой точке х, и если для каждого значения х существует производная , которая непрерывна, то случайная переменная X называется непрерывной случайной переменной.

Отметим теперь, что если случайная переменная может принимать значения в интервале (с, d), то всегда

(2.2)

Выражение (2.2) есть аналог выражения (2.1) для дискретных случайных переменных.