Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Биномиальное распределение и измерение вероятностей




В этой теме рассмотрим основные типы распределения дискретных случайных переменных. Предположим, что вероятность наступления некоторого случайного события А при единичном испытании равно р. Производится серия испытаний в каждом из которых случайное событие А может наступить с этой вероятностью р, причем следует отметить, что испытания независимы друг от друга.

Примеры исчисления вероятностей можно обобщить на основе следующей ниже иллюстрации.

Если подбрасываются одновременно 2 монеты (а, b), то существуют 4 возможных случая выпадения герба Т и цифры Н:

аb аb аb аb

ТТ ТН НТ НН

В первом исходе имеем 2 герба. Принимая это за 2 благоприятных исхода, получим вероятность каждого из них р, а сложного события (ТТ) . В данном случае, при р = 1/2;
p2 = 1/4.

Четвертый из возможных исходов НН представляет 2 неблагоприятных исхода с вероятностью q × q = q2 = 1/4.

Каждый из двух других исходов является комбинацией одного благоприятного и одного неблагоприятного случаев.

Вероятность каждого из этих исходов равна p × q = 1/2 × 1/2 =1/4, а обоих вместе ТН и НТ равна их сумме, т. е. 2 р × q = 1/2.

Обобщенным выражением процесса получения вероятностей различных сочетаний независимых событий, когда вероятности их известны, являются последовательные члены разложения бинома.

Для рассматриваемого примера из двух событий имеем:
(р +q)2 = p2 + 2pq + q2. , При p = 1/2 получим (1/2 + 1/2)2 = 1/4+1/2+1/4.

Если 3 монеты а, b, с подбрасываются одновременно, получим 8 возможных комбинаций:

abс abc abc abc abc abc abc abc

ТТТ ТТН ТНН ТНТ НТТ НТН ННТ ННН

Вероятность выпадения 3 гербов составит 1/8, 2 гербов (в сочетании с одним случаем цифры) равна 3/8, одного герба и 2 цифр – 3/8, ни одного герба – 1/8. При 3 независимых событиях степень бинома равна 3.

Вероятности отдельных возможных исходов даются последовательными членами разложения:

(р + q)3 = p3 + 3p2q + 3pq2 + q3.

При p = q = 1/2 имеем (1/2 + 1/2)3 = 1/8 + 3/8 + 3/8 + 1/8, т. e. то же, что и непосредственным подсчетом.

Если число независимых случайных событий n, то вероятность n, n–1, n–2 и т. д. благоприятных исходов равна последовательным членам разложения:

(р + q)n

Если желаем получить вероятные численности разных исходов при данном числе испытаний n, применяем выражение:

N × (p+q)n

Например, при числе испытаний N = 200 и двух независимых событиях n в каждом испытании вероятные численности будут равны 200×(p+q)2 = 200×(р2+2р×q+q2). Если p = q = 1/2, имеем последовательные вероятные численности: 50 + 100 + 50.

При подбрасывании монеты 200 раз (N = 200) выпадения герба следует ожидать в 50 случаях, герба или цифры – в 100 случаях и цифры – 50 случаях.

При тех же р и N, но n = 3 получим последовательные вероятные численности: 25 + 75 + 75 + 25, которые означают 3, 2, 1 наступление события и ненаступление его, причем сумма всех численностей равна N.

При 200 бросаниях трех монет ожидаем в 25 случаях выпадения 3 гербов (ТТТ), в 75 случаях выпадения 2 гербов и одной цифры (ТТН), в 75 случаях выпадения 2 цифр и одного герба (ННТ) и в 25 случаях – 3 цифр.

Итак, когда вероятности независимых событий известны априори, то можно определить вероятные численности любого данного числа n, n–1, n–2.... наступления события и ненаступления его. При этом неважно, равны или не равны р и q, лишь бы они оставались при испытаниях постоянными. Этот факт имеет большое значение в теории статистики.

При изучении природных явлений выделение элементарных событий и вообще расчленения причинного процесса, в результате которого происходят случайные события, обычно невозможно. Классический подход к определению вероятности здесь бессилен. Проблему определения вероятностей таких событий решают на основе статистического подхода.

Однако классический подход к определению вероятностей событий лежит в основе теории анализа случайных событий и теоретических (модельных) распределений исходов испытаний. В свою очередь теория математического анализа случайных событий и модели распределений исходов испытаний являются базой статистических методов, в частности, базой статистических заключений.

Альтернативные, дискретно варьирующие признаки, как было показано выше, распределяются так, что вероятные численности их появления могут быть найдены по формуле бинома Ньютона:

(3.1)

где n – число независимых исходов в одном испытании; р – вероятность благоприятного исхода одного случая; q – вероятность неблагоприятного исхода; N – общее число испытаний (исходов).

При n = 6 возможны 26 = 64 исходов. При равной вероятности альтернатив, т. е. при условии р = q = 0,5, получим следующий ряд вероятных численностей:

64(0,5 + 0,5)6 = 64 [1/64 + 6/64 + 15/64 + 20/64 + 15/64 + 6/64 + 1/64] = 1+6+15 + 20 + 15 + 6+1

Откладывая значения числа наступления благоприятных исходов m по оси абсцисс, а значения вероятных численностей – по оси ординат, получим многоугольник численностей распределения (рисунок 3.1). Ломаная линия, соединяющая точки на графике, называется кривой распределения.

Найденные по формуле бинома численности или биномиальные коэффициенты (при p = q = 0,5) можно получить также при помощи треугольника Паскаля (таблица 3.1). Числовые значения коэффициентов построены так, что любой из них получается суммированием двух стоящих над ним строкой выше значений, справа и слева.

Значения коэффициентов, начиная с единицы, закономерно возрастают до определенного уровня, а затем в той же последовательности уменьшаются. Кривые, изображающие биномиальные распределения с р = q = 0,5, симметричны. При любой степени бинома п число коэффициентов равно n+1, например при
n = 1 оно равно 2 и т. д. Сумма биномиальных коэффициентов равна 2n, как в нашем примере, n = 6; N = 26 = 64.

Если р и q не равны, распределение будет асимметрично, причем тем в большей степени, чем меньше n. При большом n, например 30 и более, оно симметрично и малоступенчато. Характер распределения остается тем же, независимо от того, выражено оно в значениях вероятности или в значениях частоты m ожидаемого события.

Рисунок 3. 1 – Кривая распределения

Таблица 3.1 – Треугольник Паскаля

n Биномиальные коэффициенты N=2n
                   
                 
               
             
           
         
       
     
   
 

 

Для вычисления вероятностей у события (появиться m раз в n независимых испытаний) наряду с формулой бинома применяют также формулу Якоба Бернулли:

(3.2)

Здесь – число сочетаний из n элементов по m, или биномиальный коэффициент;

р – вероятность ожидаемого события (благоприятного исхода);

q = 1 – р – вероятность противоположного события; m – частота появления ожидаемого события; n –число испытаний; n! и m! –факториалы, т. е.: 1×2×3×...×n и 1×2×3×...×m.

Совокупность вероятностей при m = 1, 2, 3, ...n называется биномиальным распределением вероятностей.

Так, для предыдущего примера, при p = q = 0,5, n = 6 и
m = 0, 1, 2, ..., 6 вероятности будут:

m = 0

m = 1

m = 2

при m = 3, 4, 5, 6 вероятности соответственно будут равны:

20/64; 15/64; 6/64; 6/64 т. е. такие, какие получены по формуле бинома.

Биномиальное распределение определяется двумя параметрами: средней величиной μ = np и дисперсией или квадратическим отклонением .

Для рассматриваемого примера имеем среднюю частоту ожидаемого случайного события m = nр = 6 – 0,5 = 3 и дисперсию
s2 = npq = 6 × 0,5 × 0,5 = 1,5.







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 523. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.004 сек.) русская версия | украинская версия