Прямоугольное (равномерное) распределение

Прямоугольное (равномерное) распределение — простейший тип непрерывных распределений. Если случайная переменная X может принимать любое действительное значение в интервале (а, b), где а и b – действительные числа, и если каждому значению случайной переменной соответствует одинаковая плотность вероятности, то переменная X имеет прямоугольное распределение. Иногда пользуются термином «равномерное распределение».

Из приведенного определения следует, что плотность распределения вероятностей этой случайной переменной должна быть постоянной, т. е. что в интервале (a, b) f(x) = с. Отсюда, а также из условия, что интеграл от функции f(x), взятый в интервале (а, b), должен равняться единице, нетрудно найти функцию плотности вероятности f(x). Имеем:

(4.1)

откуда cb – са = 1 и, следовательно, получим . Таким образом, функция плотности вероятности для прямоугольного распределения:

для a ≤ x ≥ b. (4.2)

Для х > b и х < а плотность равняется нулю. Нетрудно вычислить математическое ожидание и дисперсию рассматриваемой случайной переменной. Имеем:

(4.3)

(4.4)

Отсюда находим, что дисперсия D²(X) равняется:

(4.5)

Прямоугольное распределение находит широкое применение в математической статистике. Оно имеет основополагающее значение для так называемых непараметрических методов – одного из новейших разделов статистики, находящего все более широкое применение. Понятием прямоугольного распределения иногда пользуются и в теории статистических оценок – в том разделе статистики, где изучаются методы построения выводов о значениях параметров в генеральной совокупности на основании случайной выборки. В некоторых теориях статистического вывода за исходный пункт принимается правило: что, если нам ничего неизвестно о значении оцениваемого параметра, то следует принять, что каждое его значение равновозможно. Это ведет к истолкованию оцениваемого параметра как случайной переменной, характеризующейся прямоугольным распределением.