Математическое ожидание и дисперсия

Часто возникает необходимость охарактеризовать распределение случайной переменной с помощью одного–двух числовых показателей, выражающих наиболее существенные свойства этого распределения. К таким основным характеристикам распределения относятся математическое ожидание (стохастическая средняя), дисперсия и моменты.

Если случайная переменная X дискретна, то математическое ожидание Е(Х) этой случайной переменной определяется как сумма произведений отдельных значений, которые может принимать переменная, на соответствующие им вероятности:

(2.3)

Трактовка математического ожидания как некоторой стохастической (вероятностной) суммы вида (2.3), довольно обычная в руководствах по теории вероятности, грешит некоторой формальностью. Гораздо существеннее трактовка математического ожидания как стохастической (вероятностной) средней вида:

(2.4)

где в числителе каждое возможное значение х случайной переменной X взвешено по вероятности Р его возникновения, а знаменатель – сумма всех таких весов. Так как эта сумма весов (сумма всех вероятностей Р) всегда равна 1, стохастическая средняя (2.4) всегда тождественно совпадает со стохастической суммой (2.3).

Следовательно, математическое ожидание случайной переменной X с большей пользой может быть истолковано как арифметическая средняя всех возможных значений x_i этой переменной, взвешенных стохастически, т. е. по вероятностям Р_i их возникновения.

В выражении (2.3) суммирование распространяется на все возможные значения случайной переменной.

Если случайная переменная X непрерывна и принимает значения в интервале (с, d), то в определении математического ожидания, распространяемом на непрерывные переменные, сумма, естественно, сменяется интегралом. Таким образом:

(2.5)

где f(x) – плотность вероятности случайной переменной X.

Если X есть дискретная переменная, могущая принимать ряд значений, то математическое ожидание существует тогда и только тогда, когда бесконечный ряд вида (2.3) абсолютно сходится. Точно так же, если X есть непрерывная случайная переменная, то математическое ожидание E(X) существует тогда и только тогда, когда интеграл (2.5) является абсолютно сходящимся.

Математическое ожидание – основная характеристика распределения. Оно информирует о том, каков средний уровень значений, принимаемых случайной переменной. Говоря точнее, если наблюдать случайную переменную X весьма большое число раз, то средняя арифметическая значений, принимаемых случайной переменной, была бы приближенно равной E(X). И это неудивительно. Более тщательный анализ выражения (2.5) показывает, что E(X) есть средняя арифметическая отдельных возможных значений случайной переменной, взвешенных по соответствующим им вероятностям. Именно поэтому вместо термина «математическое ожидание» часто применяют наименование «среднее значение случайной переменной».

Приведем два примера вычисления математического ожидания случайной переменной.

Пример

Случайная переменная X может принимать значения –
-1, 0 и +1 с вероятностями соответственно 0, 1, 0, 3 и 0, 6. Тогда математическое ожидание случайной переменной X:

Пример

Непрерывная случайная переменная X принимает значения в интервале (0; 2), и ее функция плотности вероятности в этом интервале составляет . Требуется найти математическое ожидание этой случайной переменной. Применяя формулу (2.5), получаем:

Если математическое ожидание определяет средний уровень значений, принимаемых случайной переменной, то дисперсия есть характеристика степени расхождения этих значений. Дисперсия определяется, как математическое ожидание квадрата отклонений случайной переменной от ее математического ожидания. Таким образом, обозначив дисперсию через D²(X), имеем:

(2.6)

В некоторых случаях большое практическое значение имеет квадратный корень из дисперсии, называемый обычно средним квад-ратическим отклонением, или стандартным отклонением. Обозначая его через D(X), имеем:

(2.7)

Если X есть дискретная случайная переменная, то вычисление дисперсии сводится к следующему:

(2.8)

Причем суммирование распространяется на все возможные значения переменной.

Если X есть непрерывная случайная переменная с плотностью вероятности f(x), то для получения дисперсии необходимо вычислить интеграл:

(2.9)

Пример

Вычислить дисперсию случайной переменной X из примера 1 этого параграфа. Поскольку X есть дискретная переменная прибегаем к формуле (2.8) и, учитывая, что Е(х) = 0, 5, получим:

Пример

Вычислить дисперсию случайной переменной X из примера 2 этого параграфа. Так как Е(х) = 4/3, то по формуле (2.9) имеем:

Во многих случаях вычисление дисперсии можно значительно упростить, применяя следующую формулу, справедливую и для дискретных, и для непрерывных переменных:

(2.10)

Согласно этой формуле дисперсия случайной переменной X равняется математическому ожиданию случайной переменной X² минус квадрат математического ожидания случайной переменной X. Распределение случайной переменной X² дается распределением переменной X. Поэтому, если X – дискретная переменная, Е(Х²) вычисляют по формуле:

(2.11)

Если же X – непрерывная переменная, то Е(Х²) вычисляют по формуле:

(2.12)

Пример

При помощи формулы (2.12) вычислить дисперсию случайной переменной X, которая принимает различные значения в интервале [0; 2] и функция плотности вероятности которой есть:

Вычислим математическое ожидание случайной переменной X²:

Поскольку из предшествующих расчетов известно, что Е (X) = 4/3, то получим:

Естественно, что полученный результат совпадает с результатом, найденным по формуле (2.9).