Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Распределение редких событий (Пуассона)




Когда вероятности альтернатив неравны, т. е. р ≠ q, биномиальное распределение асимметрично. При очень малой вероятности ожидаемого события, исчисляемой сотыми или тысячными долями единицы, по сравнению с вероятностью q противоположного события распределение вероятности или частоты таких событий описывается формулой Пуассона.

Модель такого распределения получают на основе независимых испытаний при постоянной вероятности р наступления некоторого случайного события X.

Как известно, вероятность того, что в n испытаниях случайное событие наступит равно m раз, определяется формулой, выражающей функцию распределения вероятностей для биномиального распределения.

Примем теперь дополнительные условия, а именно, что вероятность р наступления случайного события в единичном испытании весьма мала, но число испытаний n весьма велико, n , а произведение (обозначим его λ) – число постоянное и не очень большое.

При таких дополнительных условиях на основе формулы биноминального распределения получим следующее выражение для распределения вероятностей случайной переменной X:

(3.3)

где: λ = np; р = λ/n.

Так как числитель первой дроби имеет m сомножителей, а в знаменателе стоит nm, каждый из сомножителей можно разделить на n. Получим:

(3.4)

При n предел любой дроби (1 – λ/n) = 1,

а предел (1 – λ/n)n-m =e

При этих условиях:

(3.5)

Выражение (3.5) называется функцией распределения вероятностей в распределении Пуассона.

В этом выражении m – частота ожидаемого события в n испытаниях, е = 2,7183; параметр λ = nр равен математическому ожиданию или наиболее вероятной частоте события, , а также дисперсии .

Для практических расчетов, когда находят теоретические ординаты распределения n, т. е. численности распределения случайного события X, выражение (3.5) умножают на N – общее число наблюдений, вместо принимают экспериментальное среднее число наблюдаемых случаев. Формула для n будет:

(3.6)

Распределение Пуассона с возрастанием средней X приближается к биномиальному. Распределение Пуассона описывает многие явления в технике и биологии. В технике оно находит широкое применение при контроле качества продукции, для аппроксимации распределения дефектных изделий. В биологии оно применяется как модель распределения числа семян сорняков – примесей в пробных навесках при анализе семян, поврежденных вредителем. Оно описывает также распределение численности возобновления, когда размер элементарных учетных площадок очень мал или условия заселения, площади неблагоприятны, так что вероятность благоприятного исхода р мала.

 

Вопросы для самоконтроля

 

1 Что такое биномиальная кривая распределения? Какая общая формула является основой для биномиального распределения?

2 Для анализа какого вида случайных переменных используются биномиальное распределение и распределение Пуассона?

3 Что такое n в биноме (р + q)n?

4 Какими параметрами характеризуется биномиальное распределение?

5 Является ли биномиальное распределение дискретным или непрерывным?

6 Чем отличается распределение Пуассона от биномиального?

7 Какие параметры биномиального распределения можно получить с помощью треугольника Паскаля и формулы Я. Бернулли?

8 При каких условиях предпочтительнее применять распределение Пуассона?

9 При каких условиях распределение Пуассона приближается к биномиальному?

10 Какими параметрами характеризуется распределение Пуассона?

11 Что означают максимальное значение и крайние левые и правые значения на графике кривой биномиального распределения?

ТЕМА 4 Основные модели теоретических распределений

4.1 Прямоугольное (равномерное) распределение

4.2 Нормальное распределение

4.3 Логарифмически нормальное распределение







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 824. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия