Методические указания к решению задач 3

В электротехнике простейшим переменным сигналом является гармонический ( ЭДС - е (t), напряжение - (u (t), ток - i (t)).

Применяют несколько способов представления гармонических (синусоидальных – sin или косинусоидальных –cos) электрических величин.

1. Временной (аналитический) способ - ток задается аналитически в виде функции времени (1.1). Аналитически гармонический сигнал (например, напряжение) записывается выражением:

u (t) = U_m sin(ω ₀ t+ φ ₀), (1.1 )

где u (t) – мгновенное значение напряжения – напряжение в момент времени t.

Временная диаграмма гармонического сигнала приведена на рис.1.1. Он характеризуется следующими тремя основными параметрами:

1. u_m – амплитуда, величина наибольшего отклонения от нуля, (В- вольт);

2. Т – период, наименьший интервал времени, по истечении которого мгновенные величины повторяются, измеряется в (сек), с ним связаны f=1 / Т – циклическая частота, измеряется в (Гц) и ω ₀ =2π f – угловая частота - (рад/с);

3. φ ₀ – начальная фаза, (рад). Выражение в скобках - (ω ₀ t+ φ ₀)=ψ (t) называют полная фаза. Отсюда φ ₀ = ψ (t=0).

Рис. 1.2. Временные диаграммы двух гармонических сигналов

 

Кроме амплитуд о величине периодических сигналов судят по их среднеквадратичным (действующим) значениям за период, I, U, E –

, , .

Для синусоидальных сигналов законы Кирхгофа и Ома и анализ цепей удобно проводить используя комплексную форму записи.

При комплексном представлении гармоническое колебание как функция времени заменяется комплексной амплитудой, т.е. комплексным числом, не зависящим от времени. Это делается для упрощения записи и выполнения операций над гармоническими функциями.

Комплексная амплитуда содержит информацию о двух важнейших параметрах гармонического сигнала – об амплитуде и начальной фазе. Комплексная амплитуда и гармоническая функция времени при известной частоте ω связаны взаимнооднозначно, т.е.

.

В комплексном методе расчета электрических цепей переменного тока ЭДС, напряжения, токи и сопротивления представляют в виде комплексов. Комплексные значения величин, изменяющихся по гармоническому закону, обозначают, соответственно: , модули этих величин - E, U, I.

Комплекс полного сопротивления обозначают буквой Z, комплекс полной проводимости - буквой Y, модули этих величин - Z и Y.

Комплексные числа записываются в одной из следующих форм:

- алгебраическая форма = a + jb

- тригонометрическая форма = A (cosa + jsina)

- показательная форма = А e^ja

- полярная форма = А Ð a,

где А - модуль комплексного числа А =

a - аргумент комплексного числа a = arctg

- мнимая единица.

Если напряжение и ток изменяются по закону синуса

u = U_m sin (wt + ψ _u ); i = I_m sin (wt + ψ _i ),

то эти величины в комплексной форме записываются:

.

Комплекс полного сопротивления цепи, состоящей из последовательно включенных R, L и С, записывается

Z = R + jwL - j = R + j(wL - ) = R +jX = Z e^jj,

где X = X_L - X_C = wL - - реактивное сопротивление цепи;

- полное сопротивление;

j = arctg (X / R) - угол сдвига фаз между напряжением и током в электрической цепи.

Пример 1. Например, гармоническому колебанию u (t) = 256 cos(2π 100 t – 45°) соответствует комплексная амплитуда _m = 256 e^{– j 45}.

Справедливо и обратное. Если известна комплексная амплитуда гармонического сигнала _m = 256 e^{– j 45} и частота ω =2π 100, то этому соответствует гармоническое колебание u (t) = 256 cos(2π 100 t – 45°).

Геометрически комплексная амплитуда представляет собой вектор, характеризуемый модулем и фазой, равными, соответственно, амплитуде и начальной фазе гармонической функции, как это показано на рис. 4.7,

 

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме

Они имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Только токи, ЭДС, напряжения и сопротивления входят в уравнение в виде комплексных величин: комплексных амплитуд и комплексных сопротивлений.

1. Закон Ома. Он устанавливает связь между комплексными амплитудами тока и напряжения на участке цепи. 1.8. Закон Ома для участка цепи, не содержащего источника ЭДС (рис. 1.8):

,

где и - комплексные амплитуды тока и напряжения на участке цепи; Z – комплексное сопротивление участка цепи, –комплексные амплитуды потенциалов на данном участке цепи.

2. Первый закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма комплексных амплитуд (действующих значений) токов в узле равна нулю

. (1.5 а)

3. Второй закон Кирхгофа: В замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных амплитуд (действующих значений, ЭДС) равна алгебраической сумме комплексных падений напряжений в нём.

. (1.5 б)

Комплексное сопротивление элемента (участка цепи)

Под комплексным сопротивлением понимают отношения комплексной амплитуды входного напряжения к комплексной амплитуде входного тока:

. (1.6)

где Z –модуль комплексного сопротивления, φ =ψ _u - ψ _i – начальная фаза или аргумент комплексного сопротивления; R - активного сопротивления, X– реактивному сопротивлению, причем Z= (R²+X²) ^1/2, а φ _z (ω) =ψ _u-ψ _i =arctg (X/R).

По виду записи комплексного сопротивления можно судить о характере участка цепи: Z =R – активное (резистивное) сопротивление; Z =R+jX — активно-индуктивное сопротивление; Z =R – j X — активно-емкостное

- комплексная проводимость, величина, обратная комплексному сопротивлению:

ПОСТРОЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ДИАГРАММ НА ВРАЩАЮЩЕЙСЯ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ.

Для облегчения построения векторных диаграмм на вращающейся плоскости необходимо запомнить следующие основные положения:

а) В цепи с активным сопротивлением ток и напряжение совпадают по фазе.

б) В идеализированной цепи только с индуктивным сопротивлением без потерь напряжение по фазе опережает ток на угол, равный 90 градусов

в) В цепи с чисто емкостным сопротивлением без потерь ток опережает по фазе на­пряжение на угол +90 градусов.

 

Рис.2.1.Мнемоническая схема, поясняющая возможные повороты радиусов-векторов при различном включении r-L-C элементов.

При построении векторных диаграмм надо начинать построение с вектора напряжения или тока общего для всей анализируемой цепи. В частности при последовательном включение элементов цепи надо начинать с построения вектора тока, протекающего через все элементы цепи. При параллельном включении элементов цепи построение векторной диаграммы надо начинать с вектора общего приложенного напряжения, а затем строить вектора токов, протекающих через каждую из ветвей электрической цепи. Возможные сдвиги фаз векторов напряжения в электрических цепях, состоящих из различных комбинаций r-L-C элементов, приведены на мнемонической схеме (см. рис.2.1.).

 

Радиус–вектора на схеме и ниже выделяются жирным шрифтом или точками (черточками) над ними.