Метод токов ветвей
• В общем случае токи сложной электрической цепи могут быть определены в результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа. Для однозначного нахождения всех токов необходимо составить в уравнений, где в - число ветвей схемы (без источников тока). • Последовательность расчета следующая: 1. Проводят топологический анализ схемы. 1.1. обозначают токи во всех ветвях (I1, I2, …, Iв), произвольно выбирают их положительное направление и показывают на схеме стрелками. Число токов -в. 1.2. подсчитывают общее число узлов у и определяют число независимых узлов Nу=у-1 и показывают их на схеме; 1.3. подсчитывают число независимых контуров Nk = в-у+1, и показывают их на схеме дугой. 2. По первому закону Кирхгофа для независимых узлов и по второму закону Кирхгофа для независимых контуров относительно токов ветвей записывают уравнения. После приведения подобных членов они сводятся к системе линейных алгебраических уравнений (ЛАУ)
где xi =Ii– искомые токи ветвей; aji – постоянные коэффициенты, зависящие от параметров пассивных элементов схемы; вi – постоянные величины, зависящие от параметров активных элементов схемы. 3. Решая систему из в уравнений относительно токов, по методу Крамера находят токи во всех ветвях схемы:
где D – главный определитель системы; D i – определитель, получается из главного D путем замены i -го столбца на столбец свободных членов вi. Если значения некоторых токов отрицательные, то действительные направления их будут противоположны первоначально выбранным направлениям. I1 Пример 1. Для электрической цепи рис. 1.1 n = 2, m = 3, и расчет токов цепи осуществляется путем решения следующей системы уравнений
Пример 2. Методом непосредственного применения законов Кирхгофа рассчитать токи в схеме на рис. Число ветвей обозначим m, а число узлов n. Произвольно выбираем положительные направления токов в ветвях и направления обхода контуров. Поскольку в каждой ветви протекает свой ток, то число токов, которое следует определить, а следовательно, и число уравнений, которое нужно составить, равно m. По первому закону Кирхгофа составляем n-1 уравнений. Недостающие m-(n-1) уравнений следует составить по второму закону Кирхгофа для взаимно независимых контуров.
1. Проводим топологический анализ. Она содержит пять ветвей и три узла, m = 5, n = 3. Составляем два уравнения по первому закону Кирхгофу, т. к. n – 1 = 2 (например, для узлов а и б). 2. Составляем уравнения по певому и второму законам Кирхгофа Для узла " а" - I 1 - I 2 + I 4 = 0. Для узла " б" - I 1 + I 2 - I 3 - I 5 = 0. Остальные m - (n - 1) = 3 уравнения составляем по второму закону Кирхгофа. Для контура I - R 1· I 1 - R 2· I 2 = - E 1 + E 2. Для контура II - R 2· I 2 + R 3· I 3 + R 4· I 4 = - E 2 - E 3. Для контура III - - R 3· I 3 + R 5· I 5 = E 3. Решив систему, состоящую из пяти уравнений, находим пять неизвестных токов. Если какие-либо значения токов оказались отрицательными, то это означает, что действительные направления этих токов противоположны первоначально выбранным. При расчётах сложных цепей с использованием ЭВМ удобна матричная форма записи. Уравнения, составленные по законам Кирхгофа, запишем в виде - I 1 - I 2 + 0 + I 4 + 0 = 0 I 1 + I 2 - I 3 + 0 - I 5 = 0 R 1· I 1 - R 2· I 2 + 0 + 0 + 0 = - E 1 + E 2 0 + R 2· I 2 + R 3· I 3 + R 4· I 4 + 0 = - E 2 - E 3 0 + 0 + - R 3· I 3 + 0 + R 5· I 5 = E 3. В матричной форме
или [ R ]·[ I ] = [ Е ], где [ R ] – квадратная (5 х 5) матрица, элементами которой являются коэффициенты при неизвестных токах в исходных уравнениях; [ I ] – матрица - столбец неизвестных токов; [ E ] – матрица - столбец, элементами которой могут быть алгебраическая сумма ЭДС. Решение матричного уравнения ищут в виде [ I ] = [ R ]-1·[ E ], где [ R ]-1 – матрица, обратная матрице [ R ]. Рассмотренный метод расчета неудобен, если в цепи имеется большое количество узлов и контуров, поскольку потребуется решать громоздкую систему уравнений. В таких случаях рекомендуется применять метод контурных токов, позволяющий значительно сократить число расчетных уравнений 2.
|
