Методические указания. Значение статистик Дарбина – Уотсона иТема 1. МОДЕЛЬ ПАРНОЙ РЕГРЕССИИ Методические указания Парная регрессия — уравнение связи между двумя переменными — y = где Различают линейные и нелинейные уравнения регрессии. Линейное уравнение регрессии: где Нелинейные регрессии делятся на два класса: 1) регрессии, нелинейныепо объясняющим переменным: · многочлены различных степеней · дробно-линейная регрессия 2) регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам: · степенная регрессия · показательная регрессия · экспоненциальная регрессия Выбор вида уравнения регрессии может быть осуществлен, например, графическим методом, который основан на построении диаграммы рассеяния (поля корреляции). Для получения диаграммы в прямоугольной системе координат отмечают точки Нахождение уравнения регрессии сводится к оценке его параметров. По выборке ограниченного объема можно построить так называемое эмпирическое уравнение регрессии:
где a и b — коэффициенты уравнения являются оценками параметров Для определения коэффициентов моделей применяется метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, получают систему уравнений относительно коэффициентов
Для вычисления
где
В расчетах используют
Показателем тесноты связи при использовании линейной регрессии является линейный коэффициент парной корреляции
При нелинейной регрессии находят индекс корреляции
где var (y) = (формула (7) для вычисления var ( var (
var (e) = О качестве построенной модели регрессии можно судить: 1) по средней ошибке аппроксимации
Допустимый предел значений 2) по коэффициенту детерминации R2 (0 ≤ R 2 ≤ 1): R 2 = Чем лучше уравнение регрессии соответствует наблюдениям, тем меньше var(e) и тем ближе R 2 к единице, и наоборот, чем «хуже» подгонка линии регрессии к данным, тем ближе значение R 2 к нулю. Оценивание качества уравнения регрессии в целом состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии. Для этого выполняется сравнение наблюдаемого (эмпирического, фактического)
Вычисленное значение Если Fфакт < Fкрит, то гипотеза Н0 принимается и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии. Если Fфакт ≥ Fкрит, то гипотеза Н0 отвергается, признается статистическая значимость уравнения. Полученная модель может быть использована для объяснения изменения переменной y под влиянием изменения переменной x. Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Для оценки существенности каждого из коэффициентов а и b его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяются фактические значения
которые затем сравниваются с табличным значением Стандартные ошибки коэффициентов регрессии определяются по формулам:
где Если Доверительные интервалы для параметров регрессии определяются с помощью неравенств:
и с надежностью Если нижняя граница интервала отрицательна, а верхняя – положительна, то оцениваемый параметр полагается равным нулю. Прогнозное значение
Стандартная ошибка предсказания может быть рассчитана по формуле где Se = Доверительный интервал для действительного значения yр зависимой переменной определяется выражением
Средний коэффициент эластичности
|
и 
,
— зависимая переменная (результативный фактор); 
— независимая, или объясняющая, переменная (фактор).
,
и 
— параметры уравнения регрессии, 
— случайная величина, характеризующая отклонение от уравнения регрессии и включающая влияние неучтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения.
;
;
;
;
.
, 
, где n — количество наблюдаемых пар значений переменных 
= a + b x, (1)
и 
:
(2)
, (3)
, (4)
, 
, 
, 
, 
— средние значения:
; 
; 
; 
; 
, (5)
— дисперсия независимого фактора 
. (6)
, дисперсию результативного фактора 
. (7)
(
):
. (8)
(0 ≤ ρ xy ≤ 1):
, (9)
, (10)
, (11)
— дисперсия остатков:
. (12)
. (13)
— не более 8 – 10%;
. (14)
и критического (табличного) Fкрит значений критерия Фишера.
. (15)
– критерия Стьюдента:
, (16)
при заданном уровне значимости 
.
= 
; (17)
= 
, (18)
= 
·var(e) = 
— остаточная дисперсия регрессии.
, то Н0 принимается и признаётся случайная природа формирования коэффициентов (а, b); если 
, то Н0 отвергается, т.е. коэффициенты (а, b) не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора 
(19)
покрывают определяемые параметры α и β.
вычисляется при подстановке в эмпирическое уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения 
: 
, (21)
— стандартная ошибка регрессии.
показывает, на сколько процентов отклонится в среднем результат 
. (23)
