Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение взаимного положения прямой и плоскости




 

Задача 1 (рисунок 14)

Дано:

- Плоскость ω,заданная ∆ ABC

- прямая p

Определить взаимное положение прямой р и плоскости ω и в случае их пересечения найти эту точку.

 

Решение:

 

1) Возможны следующие случаи расположения прямой и плоскости:

a) прямая лежит в плоскости ( р € ω );

б) прямая параллельна плоскости P'≡δ'≡ ℓ '(р // ω);

в) прямая пересекает плоскость (р ∩ ω).

 

2) Анализ графического условия:

а) прямая принадлежит плоскости, если хотя бы две ее точки принадлежат плоскости. Такими точками могут являться точки пересечения прямой р' со сторонами А'С' и В'С' ∆ АВС на П1. Строим точки 1 и 2, на П2. Если проекция р'' не проходит через точки 1'' и 2'' на П2, значит она не лежит в плоскости ω (АВС), т.е. р не принадлежит ω .

б) прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. В этом случае одноименные проекции прямых должны быть параллельны между собой.

Следует обратить внимание, что горизонтальные проекции р и АВ параллельны (р1 // А1В1 ) , а фронтальные – не параллельны, значит прямые р и АВ не параллельны и следовательно, прямая р не параллельна плоскости ω (АВС) .

в) Если прямая не лежит в плоскости и не параллельна ей, то она пересекает эту плоскость.

Для определения точки пересечения прямой с плоскостью в качестве посредника вводится вспомогательная проецирующая плоскость.

 

3) Алгоритм решения задачи:

а) через прямую р на П1 или П2 проводим вспомогательную проецирующую плоскость – посредник δ (δ כּ р). В рассматриваемой задаче проведена горизонтально – проецирующая плоскость, т.е. р1 ≡ δ1.

б) Плоскость δ пересекает плоскость ω(АВС) по прямой линии, назовем её ℓ (δ ∩ ω = ℓ). Прямая ℓ конкурирует с прямой р (р' ≡ ℓ') и лежит вместе с ней в плоскости δ. Прямые р и ℓ лежат в одной плоскости δ и пересекаются в точке К (р ∩ ℓ = К). Но так как прямая ℓ принадлежит и плоскости ω, то точка К – общая для плоскости ω(АВС) и прямой р, т.е. она является точкой пересечения прямой р с плоскостью ω(АВС) (К = ω ∩ р).

в) На П1 прямая ℓ' пересекает стороны плоскости ω А'С' и В'С' в точках 1' и 2'.

г) Строим данные точки на П2 и проводим через них прямую ℓ''.

д) На П2 находим точку пересечения прямых ℓ'' и р'' (ℓ'' ∩ р'' = К'').

е) Горизонтальная проекция точки К' определяется по принадлежности к прямой р при помощи линии связи.

ж) Символическая запись алгоритма решения:

- δ כּ р ; δ ┴ П1 ; δ' ≡ p';

- δ ∩ ω = ℓ ; ℓ' ≡ δ' ; ℓ' כּ 1' и 2' → ℓ'' כּ 2'' и 1''

- К = ℓ ∩ p (K2 = ℓ'' ∩ p''; K1 כּ p').

з) Определяем видимость прямой.

- для определения видимости воспользуемся конкурирующими точками.

- на П1 это точки 1'' и 3'. Точка 3 € р ; точка 1 € АС. Строим эти точки на П2.

На П1 видимой будет та точка, координаты которой по Z на П2 больше.

В нашем случае видимой будет точка 3, которая принадлежит прямой р → на П1 прямая р от конкурирующей точки до точки пересечения будет видимой.

- на П2 конкурирующие точки 4'' и 5''. Одна точка 4'' € р'' ; 5'' € В''С''.

Строим эти точки на П1.

На П2 видимой будет та точка, координата которой на П1 по Ү больше; в нашем случае это точка 4'. Она расположена на р'. Отсюда следует что на П2 от конкурирующей точки до точки врезания видимой будет прямая р''.

 

 

Рисунок 14

 







Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 268. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.001 сек.) русская версия | украинская версия