Теоретическая часть. Множеством называется совокупность некоторых предметов, объединенных общим признаком

Множеством называется совокупность некоторых предметов, объединенных общим признаком. Элементы множества – это те предметы, из которых состоит множество.

Множество А нестрого включено в множество В (обозначается АÍ В) если для любого х Î А, следует что х Î B. Нестрогое включение не исключает совпадения множеств.

Множество А строго включено в множество В (обозначается АÌ В) если:

1) АÍ В;

2) существует y Î B, такой, что y Ï B.

Множество А совпадает с множеством В (А = В), если все элементы множества В являются элементами множества В и все элементы множества В являются элементами множества А, т.е.

(АÍ В и ВÍ А) Û (А = В).

Большинство утверждений теории множеств связано с равенством двух множеств и включением одного множества в другое. Поэтому детально разберёмся в методах доказательства этих фактов.

1. Доказательство включения АÍ В. Для этого нужно доказать, что любой элемент x, принадлежащий множеству А одновременно является элементом множества В, т.е.

(" x Î А) Þ (x Î В).

2. Доказательство включения АÌ В состоит из двух частей:

1) АÍ В;

2) $ y: y Î B и y Ï A.

3. Доказательство равенства А = В сводится к доказательству двух включений А Í В и В Í А.

Дадим определения операций над множествами, используя способ задания множества характеристическим свойством.

1. Дополнение : .

2. Пересечение : .

3. Объединение : .

4. Разность : .

5. Симметричная разность : .

В доказательствах будем также использовать следующие краткие обозначения, для того чтобы расписать принадлежность элемента множеству, построенному с помощью операций над множествами.

Û Û

Фигурная скобка и запятая здесь, как и прежде, обозначает выполнение обоих свойств.

Û

Квадратная скобка означает выполнение хотя бы одного из свойств. Таким образом, доказательство в дальнейшем распадается на два случая, для которых рассуждения проводятся отдельно, каждое в своей строке.

Û

Û

Распишем также, что означает, что элемент не принадлежит множеству, построенному с помощью операций над множествами.

Û

Û

Û

Û