Теоретическая часть. Нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A= {mA(х) /х}

Нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = {m_A(х) /х}, где m_A(х) – характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [ 0, 1 ]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = { 0, 1 }, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Для построения функции принадлежности используются прямыеметоды, когда эксперт либо просто задает для каждого xÎ E значение m _A (x), либо определяет функцию совместимости. При прямых методах используются также групповые прямые методы, когда, например, группе экспертов предъявляют конкретное лицо и каждый должен дать один из двух ответов: “этот человек лысый” или “ этот человек не лысый”, тогда количество утвердительных ответов, деленное на общее число экспертов, дает значение m_{" лысый"} (данного лица).

Косвенные методы определения значений функции принадлежности используются в случаях, когда нет элементарных измеримых свойств, через которые определяется интересующее нас нечеткое множество. Как правило, это методы попарных сравнений. Если бы значения функций принадлежности были нам известны, например, m _A (x_i) = w _i, i = 1, 2,..., n, то попарные сравнения можно представить матрицей отношений A = {a_ij}, где a_ij = w _i/ w_j (операция деления).

На практике эксперт сам формирует матрицу A, при этом предполагается, что диагональные элементы равны 1, а для элементов симметричных относительно диагонали a_ij = 1 / a_ij, т.е. если один элемент оценивается в a раз сильнее чем другой, то этот последний должен быть в 1/a раз сильнее, чем первый. Доказано [3], что в общем случае задача сводится к поиску вектора w, удовлетворяющего уравнению вида А w = l_maxw, где l_max – наибольшее собственное значение матрицы A. Имеет место теорема Перрона, согласно которой для матрицы А с положительными элементами решение данной задачи существует и является положительным.

В случае идеальной согласованности экспертных оценок должно выполняться соотношение . (1)

В этом случае l_max совпадает с n – размерностью матрицы А. В случае нарушения условия (1) l_max меньше n. Таким образом, величина разности l_max – n может служить мерой согласованности экспертных оценок.

Для вычисления l_max можно рекомендовать метод скалярных произведений. Метод основан на следующем соотношении:

,

при произвольном векторе у₀. Для вычислений удобнее строить две последовательности векторов: у_k = А^kу₀ и z_k = (А^T)^kу₀. Тогда

.

Для того чтобы определить операции над нечёткими множествами нужно определить функцию принадлежности результирующего множества.

1. Дополнение. Пусть M = [0, 1], A – нечеткое множество, заданное на E. Множество имеет функцию принадлежности .

2. Пересечение. A Ç B – наибольшее нечеткое подмно-жество, содержащееся одновременно в A и B, т.е.

m _{A Ç B} (x) = min{m _A (x), m _B (x)}.

3. Объединение.А È В – наименьшее нечеткое подмно-жество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности

m _{A È B} (x) = max {(m _A (x), m _B (x)}.

4. Разность. А \ B= А Ç с функцией принадлежности

m _{A \ B} (x) = min { m _A (x), 1 – m _B (x)}.