Метод контурных токов. При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток

При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контур ных токов, после чего через них определяют токи ветвей.

Таким образом, метод контурных токов можно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирх­гофа.

Следовательно, метод контурных токов более экономен при вы­числительной работе, чем метод на основе законов Кирхгофа (в нем меньше число уравнений).

Вывод основных расчетных уравнений приведем применительно к схеме рис. 5.8, в которой два независимых контура. Положим, что в левом контуре по часовой стрелке течет контурный ток I ₁₁, а в правой (также по часовой стрелке) — контурный ток I ₂₂. Для каж­дого контура составим уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом учтем, что по смежной ветви (с сопротивлением R ₅) течет сверху вниз ток I ₁₁ — I ₂₂. Направления обхода контуров примем также по часовой стрелке.

Рис. 5.8

Для первого контура

(R ₁ + R ₂) I ₁₁ + R ₅(I ₁₁ – I ₂₂)= E ₁, + E ₅ (а)

Или

(R ₁+ R ₂ + R ₅) I ₁₁ + (- R ₅) I ₂₂ = E ₁, + E ₅ (б)

Для второго контура

- R ₅(I ₁₁ - I ₂₂) + (R _з + R ₄) I ₂₂ = - E ₅ -Е₄

Или

(- R ₅ ) I ₁₁ + (R _з + R ₄+ R ₅) I ₂₂ = - E ₅ -Е₄.

 

В уравнении (б) множитель при токе I ₁₁, являющийся суммой сопротивлений первого контура, обозначим через R ₁₁, множитель при токе I₂₂ (сопротивление смежной ветви, взятое со знаком минус) — через R ₁₂.

Перепишем эти уравнения следующим образом:

(5.2 а)

Здесь R ₁₁ = R ₁ + R ₂ + R ₅; E ₁ + E ₅; R ₁₂ = R ₂₁= — R ₅; R ₂₂ = R ₃ + R ₄+ R ₅; E ₂₂=— E ₄— E _5,

где R ₁₁ — полное или собственное сопротивление первого контура; R₁₂ — сопротивление смежной ветви между первым и вторым кон­турами, взятое со знаком минус; Е₁₁ — контурная ЭДС первого контура, равная алгебраической сумме ЭДС этого контура (в нее со знаком плюс входят те ЭДС, направления которых совпадают с направлением обхода контура); R ₂₂ — полное или собственное сопротивление второго контура; R ₂₁ — сопротивление смежной ветви у между первым и вторым контурами, взятое со знаком минус; E ₂₂ — контурная ЭДС второго контура.

В общем случае можно сказать, что сопротивление смежной ветви между k- и т- контурами (R_km) входит в уравнение со знаком минус, если направления контурных токов I_kk и I_mm вдоль этой ветви встречны, и со знаком плюс, если направления этих токов согласны.

Если в схеме больше двух контуров, например три, то система уравнений выглядит следующим образом:

(5.2 б)

Или в матричной форме

[ R ][ I ]=[ E ];

 

(5.2 в)

Рекомендуется для единообразия в знаках сопротивлений с раз­ными индексами все контурные токи направлять в одну и ту же сторону, например по часовой стрелке.