Метод узловых потенциалов

Ток в любой ветви схемы можно найти по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС. Для того чтобы можно было применить закон Ома, необходимо знать потенциалы узлов схемы. Метод расчета электрических це­пей, в котором за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, называют методом узловых потенциалов.

Допустим, что в схеме п узлов. Так как любая (одна) точка схемы может быть заземлена без изменения токораспределения в ней, один из узлов схемы можно мысленно заземлить, т. е. принять по­тенциал его равным нулю. При этом число неизвестных уменьшает­ся с п до п — 1.

Число неизвестных в методе узловых потенциалов равно числу уравнений, которые необходимо составить для схемы по первому закону Кирхгофа. В том случае, когда число узлов без единицы меньше числа независимых контуров всхеме, данный метод явля­ется более экономным, чем метод контурных токов.

Обратимся к схеме рис. 5.11, которая имеет довольно большое число ветвей (11) и сравнительно небольшое число узлов (4). Если узел 4 мысленно заземлить, т. е. принять φ ₄ = 0, то необходимо определить потенциалы только трех узлов: φ ₁, φ ₂, φ ₃. Для единооб­разия в обозначениях условимся токи писать с двумя индек­сами: первый индекс соответствует номеру узла, от которого ток уте­кает, второй индекс — номеру узла, к которому ток подтекает.

Рис. 5.11

В соответствии с обозначениями токов на рис. 5.11 составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла:

I₄₁^'- I₁₄^''+ I₂₁^'''- I₁₂'+ I₂₁^''+ I₃₁=0,

или

[ E₄₁^' – (φ ₁ – φ ₄)] g ₄₁^'- [ E₁₄^{' '}– (φ ₄ – φ ₁)] g ₁₁^''+ [0 - (φ ₁ – φ ₂) Х g ₁₂^'''- [ E₁₂^' – (φ ₂ – φ ₁)] g ₁₂^'+ [ E₂₁^{' '}– (φ ₁ – φ ₂)] g ₁₂^''+ [ E₃₁ – (φ ₁ – φ ₃)] g ₁₃ = 0.

Перепишем последнее уравнение следующим образом:

φ ₁G₁₁ + φ ₂G₁₂ + φ ₃G₁₃ = J ₁₁, (5.4)

где

G₁₁ = g_4l ^' + g₁₃ + g ₁₂ " + g ₄₁ " + g ₁₂ ^' + g ₁₂ ^''';

 

G₁₂ = - (g ₁₂ ^' + g ₁₂ ^''' + g ₁₂ "); G₁₃ = - g₁₃;

 

J ₁₁ ⁼ Е ₄₁ ^' g_4l ^' + Е ₃₁ g_3l + Е ₂₁ " g ₂₁ " - Е ₁₄ ^'' g_4l ^''- Е ₁₂ ^' g_l2 ^'.

 

Подобные же уравнения могут быть записаны и для остальных узлов схемы. Рели схема имеет п узлов, то ей соответствует система из п — 1 уравнений:

(5.5)

В общем случае G_kk — сумма проводимостей ветвей, сходящих­ся в узде k; G_km — сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узлы k и т, взятая со знаком минус. Если между какими-либо двумя узлами ветвь отсутствует, то соответствующая проводимость равна нулю. В формировании узлового тока к -узла J_kk участвуют те ветви, подходящие к этому узлу, которые содержат источники ЭДС и (или) тока. Нели ЭДС Е_р р-ветви направлены к k -узлу, то ее вклад в формирование J _кк равен а если эта ЭДС направлена от k -узла, то ее вклад составляет — E_pg_p Если к k -узлу подтекает ток от источника тока, то он должен быть введен в J_кк со знаком плюс, если этот ток от источника тока утекает, то он должен входить в J_кк со знаком минус. После решения системы отно­сительно потенциалов определяют токи в ветвях по закону Ома для участка цепи, содержащего ЭДС.

В том случае, когда в схеме имеются два узла, соединенных ветвью, в которой имеется ЭДС, а сопротивление ее равно нулю, перед составлением системы уравне­нии по методу узловых потенциалов один из этих узлов рекомендуется устранить.

Система уравнений может быть представлена в матрич­ной форме записи:

[ G ][ φ ]=[ J_kk ], (5.5а)

 

;

Ее решение

[φ ] = [G]^-1[J_kk]. (5.5б)

Еще Максвеллом было установлено, что распределение токов в электрических цепях всегда происходит так, что тепловая функция системы

минимальна. Коэффициент 1/2 обусловлен тем, что при двойном суммировании мощность каждой ветви учитывается дважды. Доказательство основано на том, что совокупность уравнений является совокупностью условий минимума функции P, т. е. совокупностью условий и т. д. Так как вторые производные положительны, то это и является доказательством минимума тепловой функции Р.

Пример 23. Найти токи в ветвях схемы рис. 5.11 и сделать проверку по второму закону Кирхгофа. Дано: Е₄₁' = 10 В; Е₁₄" = 6 В; E₁₂" = 20 В; E₂₁" = 30 В; E₃₁ = 14 В; E₂₄= 10 В; E₄₃ = 8В; E₂₃" = 12 В; E₃₂ = 7 В; R₄₁' = 1Ом R₁₄" = 2 0м; R₁₂' = 10 Ом; R₂₁'" = 5Ом; R₃₁ = 2 Ом; R₂₄ = 4 Ом; R₃₄ = 2Ом R₂₃" = 4 Ом; R₃₂' = 2 Ом. Источ­ник тока, включенный между узлами 3 и 2, дает ток J₃₂ = 1, 5 А.

Решение. Записываем систему уравнений:

Подсчитываем проводимости:

При подсчете G ₂₂, G ₂₂ и G ₂₃ учтено, что проводимость ветви с источником тока равна нулю (сопротивление источника тока равно бесконечности).

Узловые токи:

Cистема уравнений

Имеет решение φ ₁ = 6 В; φ ₂ = 0, 06 В; φ ₃ = -1, 07 В.

Заключительный этап расчета состоит в подсчете токов по закону Ома. Перед определением токов в ветвях схемы следует эти токи обозначить и выбрать для них положительные направления:

.

Сделаем проверку решения по второму закону Кирхгофа для периферийного контура.

Алгебраическая сумма падений напряжений 4 х 1 + 1, 185 х 5 — 2.92 х 2 — 4, 55 х 2 ≈ — 5 В.

Алгебраическая сумма ЭДС 10 — 7 — 8 = — 5 В.

Покажем, что основная формула метода двух узлов полу­чается как частный случай. Действительно, если один узел схемы (рис. 5.10), например узел b, заземлить, то остается найти только один потенциал φ _a = U_ab. Для получения основной формулы из частной следует положить φ ₁ = φ _a = U_ab; < φ ₂ = φ ₃ = φ ₄ =... =0.

1.9 Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду

Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рис. 5.12), называют звездой, а соединение трех сопротивле­ний так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 5.13), — треугольником. В узлах 1, 2, 3 (потенциалы их φ ₁, φ ₂ и φ ₃) треуголь­ник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках). Обозначим токи, подтекающие к узлам 1, 2, 3, через I ₁, I ₂ и I ₃.

Рис. 5.12 Рис. 5.13

Часто при подсчете электрических цепей оказывается полез­ным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовы­вать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи оди­наковы, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены. Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи I ₁, I ₂ и I ₃ в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости.

Для звезды

I ₁ + I ₂ + I ₃ = 0, (5.6)

Но

(5.7)

Поставим (5.7) в (5.6) и найдём φ ₀:

Откуда

(5.8)

Введём φ ₀ в выражение (5.7) для тока I ₁:

(5.8)

Для треугольника в соответствии с обозначением Рис. 5.12

(5.9)

Так как ток I ₁ в схеме рис.5.11 равен току I ₁ в схеме рис. 5.12 при любых значениях потенциалов φ ₁, φ ₂, φ ₃, то коэффициент при φ ₂ в правой части (5.9) равен коэффициенту при φ ₂ в правой части (5.8), а коэффициент при φ ₃ в правой части (5.9) — коэффициенту при φ ₃ в правой части (5.8).