Теоретическая часть. 1.1 Синусоидальный ток и основные характеризующие его вели­чины

1.1 Синусоидальный ток и основные характеризующие его вели­чины.

Цель работы: изучить линейные электрические цепи однофазного синусоидального тока.

Синусоидальный ток представляет собой ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 6.1)

 

(6.1)

 

Максимальное значение функции называют амплитудой. Амп­литуду тока обозначают I_m. Период Т — это время, за которое со­вершается одно полное колебание.

Частота равна числу колебаний в 1 с (единица частоты f — герц (Гц) или с^-1)

 

f =1/T. (6.2)

 

Угловая частота (единица угловой частоты рад/с или с^-1)

 

(6.3)

 

Аргумент синуса, т. е. , называют фазой. Фаза характе­ризует состояние колебания (числовое значение) в данный момент времени t.

Любая синусоидально изменяющаяся функция определяется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фа­зой.

В странах СНГ и Западной Европе наибольшее распростране­ние получили установки синусоидального тока частотой 50 Гц. при­нятой в энергетике за стандартную. В США стандартной является частота 60 Гц. Диапазон частот практически применяемых синусо­идальных токов очень широк: от долей герца, например в геолого­разведке, до миллиардов герц в радиотехнике.

 

Рис. 6.1

Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот (до нескольких килогерц) получают с помощью синхронных генерато­ров (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых или полупроводниковых генераторов. Источник синусоидальной ЭДС и источник синусоидального тока обозначают на электрических схемах так же, как и источники постоянной ЭДС и тока, но обозначают их е и j [или e(t) и j(t) ].

 

1.2 Изображение синусоидально изменяющихся величин век­торами на комплексной плоскости. Комплексная амплитуда. Ком­плекс действующего значения.

На рис. 3.2 дана комплексная пло­скость, на которой можно изобразить комплексные числа. Комплексное число имеет действительную (вещественную) и мни­мую части. По оси абсцисс комплексной плоскости откладывают действительную часть комплексного числа, а по оси ординат — мнимую часть. На оси действительных значений ставим + 1, а на оси мнимых значений

 

Рис. 6.2 Рис. 6.3

 

Из курса математики известна формула Эйлера

 

e ^jα = cos α + j sin α. (6.4)

 

Комплексное число е ^jα изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным единице и составляющим угол α с осью вещественных значений (осью +1). Угол а отсчитываем против часовой стрелки от оси +1. Модуль функции

Проекция функции е ^jα на ось +1 равна cos α, а на ось + j равна sin α. Если вместо функции е ^jα взять функцию I_m е ^jα , то

 

I_m е ^jα = I_m cosα + jI_m sinα.

 

На комплексной плоскости эта функция, так же как и функция е ^jα изображается под углом а к оси +1, но длина вектора будет в I_m раз больше.

Угол а в формуле (6.4) может быть любым. Положим, что α = ω t+ φ т. е. угол α изменяется прямо пропорционально времени. Тогда

 

(6.5)

 

Слагаемое представляет собой действительную часть (Re) выражения

(6.6)

 

а функция есть коэффициент при мнимой части (Im) выражения

(6.6а)

 

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток i [ср. (6.1) и (6.6а)| можно представить как Im I _me ^{j(ω t+φ)} или, что то же самое, как проекцию вращающегося вектора I _me ^{j(ω t+φ)} на ось + j (риc. 6.3).

Исторически сложилось так, что в радиотехнической литературе за основу обыч­но принимают не синусоиду, а косинусоиду и потому пользуются формулой (6.6).

С целью единообразия принято на комплексной плоскости изо­бражать векторы синусоидально изменяющихся во времени вели­чин для момента времени ω t =0. При этом вектор

 

, (6.7)

 

где I _m—комплексная величина, модуль которой равен I _m; — угол, под которым вектор I _m проведен к оси + 1 на комплексной плоскости, равный начальной фазе.

Величину I _m называют комплексной амплитудой тока i. Комп­лексная амплитуда изображает ток i на комплексной плоскости для момента времени ω t =0. Точка, поставленная над током I или напряжением U, означает, что эта величина во времени изменяется синусоидально.

Поясним сказанное. Пусть ток i = 8sin(ω t + 20°) А. Запишем выражение для комплексной амплитуды этого тока. В данном слу чае I_m = 8 А, φ = 20°. Следовательно, А. Пусть комплек­сная амплитуда тока А. Запишем выражение для мгновенного значения этого тока.

Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значе­нию умножим I_т на е ^{jω t} и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного произведения [см. формулу (6.6а)]:

 

 

Под комплексом действующего значения тока или комплексом тока (комплексным током) I понимают частное от деления комплек­сной амплитуды на :

(6.8)

Пример. Записать выражение комплекса действующего значение тока

Решение. Комплекс действующего значения