В результате решения системы уравнений какой-либо один или несколько контурных токов могут оказаться отрицательными

В ветвях, не являющихся смежными между соседними контура­ми (например, в ветви с сопротивлениями R ₁, R ₂ схемы рис. 5.8), найденный контурный ток является действительным током ветви. В смежных ветвях через контурные токи определяют токи ветвей. Например, в ветви с сопротивлением R ₅ протекающий сверху вниз ток равен разности I ₁₁ — I ₂₂

Если в электрической цепи имеется п независимых контуров, то число уравнений тоже равно n.

Общее решение системы п уравнений относительно тока I_кк:

Где

(5.3)

— определитель системы.

Алгебраическое дополнение _кт получено из определителя путем вычеркивания k-гo столбца и т -й строки и умножения полу­ченного определителя на (— 1) ^{k + m}.

Если из левого верхнего угла определителя провести диагональ в его правый нижний угол (главная диагональ) и учесть, что R_km = R_mk, то можно убедиться в том, что определитель делится на две части, являющиеся зеркальным отображением одна другой. Это свойство определителя называют симметрией относительно главной диагонали. В силу симметрии определителя относительно главной диагонали _km = _mk.

Пример.Найти токи в схеме (рис. 5.9) методом контурных токов. Числовые значения сопротивлений в омах и ЭДС в вольтах указаны на рисунке.

Решение. Выберем направления всех контурных токов I₁₁, I₂₂ и I₃₃ по часовой стрелке. Определяем: R₁₁, = 5 + 5 + 4 = 14 Ом; R₂₂ = 5 + 10 + 2=17 Ом; R₃₃ = 2+ 2 +1 = 5 Ом; R₁₂= R₂₁=— 5 Ом; R₁₃= R₃₁=0; R₂₃= R₃₂=— 2 Ом; Е₁₁ =—10 B; Е₁₁=—8 B.

Записываем систему уравнений:

14I₁₁ — 5 I₂₂=—10;

—5 I₁₁ + 17 I₂₂ — 21 I₃₃=10;

—2 I₂₂+5 I₃₃=— 8.

Определитель системы

.

Подсчитаем контурные токи

I ₂₂=0, 224 А; I₃₃= —1, 51 А.

Ток в ветви сm I_cm= I₁₁ — I₂₂= — 0, 634 — 0, 224=—0, 86 A.

Ток в ветви am I_am= I₂₂ — I₃₃=0, 224 + 1, 51=1, 734 A.

Составлению уравнений по методу контурных токов для схем с источниками тока присущи некоторые особенности. В этом случае полагаем, что каждая ветвь с источником тока входит в контур, замыкающийся через ветви с источниками ЭДС и сопротивления­ми, и что токи в этих контурах известны и равны токам соответству­ющих источников тока. Уравнения составляют лишь для контуров с неизвестными контурными токами. Если для схемы рис. 5.9, принять, что контурный ток I = J течет согласно направлению часовой стрелки по первой и второй ветвям, а контурный ток I₂₂= I₃ замыкается также по часовой стрелке по второй и третьей ветвям, то, согласно методу контурных токов, получим только одно уравнение с неизвестным током I₂₂: (R₂+ R₃)I₂₂ - R₂J=E.

Отсюда и ток второй ветви I₂= I₁₂ - I₂₂

Рис. 5.9