Теоретические сведения. Рассмотрим течение газа через длинную трубу

 

Рассмотрим течение газа через длинную трубу. Пусть при данном давлении плотность газа будет настолько большая, что средняя длина свободного пробега молекул газа будет много меньше характерного размера канала, за который принят радиус трубы, т. е. выполняется соотношение

.

В этом случае соударения между молекулами происходят намного чаще, чем их столкновения со стенками канала, и можно считать, что течение газа определяется межмолекулярными столкновениями. В этих условиях физические величины, характеризующие состояние газа, не меняются заметно на расстоянии одной средней длины свободного пробега молекул и газ можно рассматривать как сплошную среду, а именно как жидкость. При этом под понятием " жидкость" подразумевается не агрегатное состояние вещества, а свойство сплошной среды откликаться на любое касательное усилие с бесконечной малой сдвиговой деформацией.

Для удобства рассмотрения течения жидкости по каналу будем считать, что канал имеет цилиндрическую форму и поперечное сечение канала неизменно по всей длине. В этом случае, если длина канала достаточно велика, можно считать, что течение полностью сформировано, т.е. распределение скоростей частиц жидкости по его сечению постоянно по всей длине канала.

Пусть на одном конце трубы давление будет больше, чем на другом. В этом случае в разных поперечных сечениях трубы давления неодинаковы и жидкость должна была бы испытывать ускорение. Однако опыт показывает, что если нет нарушения непрерывности течения, то скорости частиц жидкости в разных поперечных сечениях трубы одни и те же, т.е. ускорения нет. Это противоречие устраняется, если предположить, что на движущуюся сре­ду действует со стороны трубы сила, направленная навстречу потоку и уравновешивающая разность давлений. Эта сила называется силой внутреннего трения или силой вязкости по аналогии с силой, возникающей при движении твердых тел по поверхности.

Сила внутреннего трения существует не только между внешним слоем жидкости и трубы, но и между отдельными цилиндрическими слоями жидкости, скользящими друг относительно друга. Наличие сил внутреннего трения приводит к тому, что цилиндрический слой жидкости, прилегающий непосредственно к стенке трубы, действует на соседний с ним внутренний слой, этот слой на следующий и т.д.

Таким образом, тангенциальные силы, параллельные векторам скоростей частиц жидкости, со стороны трубы оказывают влияние на скорость всего потока. Слой жидкости, прилегающий к стенке трубы, не движется и его скорость равна нулю. Внутренние слои жидкости движутся со скоростями, непрерывно возрастающими к центру трубы и достигающими максимального значения , как показано стрелками на рис.1.

Рис. 1.

Так как все промежуточные слои находятся в одинаковых условиях, скорости частиц жидкости от слоя к слою изменяется на одинаковую величину и модуль градиента скорости вдоль радиуса есть величина постоянная:

,

где

Механизм возникновения внутреннего трения можно объяснить сле­дующей моделью. Пусть два соседних слоя жидкости движутся с разными скоростями. Молекулы при тепловом движении из одного слоя будут попадать в другой, перенося при этом свой импульс упорядоченного (направленного) движения. В результате обмена молекул между слоями, движущимися с различными скоростями, импульс упорядоченного движения будет уменьшаться для слоя движущегося быстрее, а для медленнее движущегося - увеличиваться. Это означает, что слой, движущийся быстрее, тормозится, а движущийся медленнее ускоряется.

Сила внутреннего трения между слоями жидкости описывается законом Ньютона

,

где F – модуль силы внутреннего трения; S – площадь соприкосновения слоёв; η – динамическая вязкость жидкости. В системе единиц измерений СИ динамическая вязкость измеряется в Па·с, а в системе единиц СГС – в " пуазах" – г/(см·с).

У большинства жидкостей с ростом температуры вязкость уменьшается. Вязкость газов с увеличением температуры T растет примерно как .

Вязкость газов почти не зависит от давления. Казалось бы, с понижением давления и, соответственно, уменьшением плотности газа, должно уменьшаться число столкновений между молекулами. Следствием чего должно быть уменьшение числа молекул, переходящих из одного слоя газа в соседний слой и передающих свои импульсы молекулам в соседнем слое. В действительности при понижении давления средняя длина свободного пробега молекул увеличивается, и в результате молекулы, переносящие импульсы из одного слоя в другой, могут воздействовать на более удаленные области соседнего слоя. Эти два механизма точно компенсируют друг друга. Поэтому с изменением давления вязкость газа остается постоянной.

При обычных условиях любое течение жидкости сопровождается проявлением действия сил внутреннего трения. Однако, при температуре среды вблизи 0 K возможно такое явление, как сверхтекучесть. При атмосферном давлении и температуре ниже 4, 2 K гелий превращается в жидкость. Когда же температура становится ниже 2, 19 K, вязкость части жидкости обращается в нуль. В таком состоянии сверхтекучая жидкость может проникать через малые отверстия быстрее, чем газообразный гелий. В сверхтекучей жидкости работа сил вязкости равна нулю и атомы такой жидкости скользят относительно друг друга без энергетических потерь и могут быстро переносить возмущения по всей жидкости. Поэтому сверхтекучий гелий проводит тепло лучше любого другого вещества, например, в сто раз быстрее меди.

Наряду с термином " динамическая вязкость" при описании движения вязкой среды используется термин " кинематическая вязкость”. Кинематическая вязкость определяется как

,

где ρ – плотность среды. В системе единиц измерений СИ кинематическая вязкость измеряется в м²/c, а в системе единиц СГС – в cм²/c.

В таблице 1 даны значения величин η и для воздуха и некоторых жидкостей при температуре t = 20⁰ C:

Таблица 1

Вещество	η, Па·с	, м2/с
Воздух	1, 81·10-5	1, 5·10-5
Вода	1, 0·10-3	1, 0·10-6
Спирт этиловый	1, 192·10-3	1, 51·10-6
Глицерин	0, 83	6, 91·10-4

 

Вернемся снова к рассмотрению стационарного течения вязкой сре­ды по трубе. Мысленно выделим цилиндр, расположенный вдоль трубы длиною L и радиусом r (рис.2, а).

А	б
Рис. 2

Скорость частиц жидкости в разных точках поперечного сечения трубы различна. Она зависит от расстояния до стенок. С внешней стороны на единицу поверхности цилиндра действует сила вязкости

,

на всю поверхность рассматриваемого цилиндра сила F:

.

Пусть давление в первом поперечном сечении трубы больше давления во втором поперечном сечении. Так как движение частиц жидкости происходит с постоянной скоростью, то сила должна уравновешивать разность сил давлений и на торцах цилиндра. Следовательно,

где .

Отсюда

. (1)

Интегрируя выражение (1), получаем

, (2)

где С – постоянная величина.

У стенок трубы и скорость частиц жидкости . Из выражения (2)следует, что постоянная С имеет значение

.

Тогда зависимость скорости направленного движения частиц жидкости от ра­диуса трубы принимает вид

, (3)

где - разность давлений.

Максимальная скорость движения частиц жидкости по оси трубы при r= 0:

. (4)

Чтобы найти массу жидкости, протекающей через все поперечное сечение трубы, нужно разбить сечение на тонкие кольца радиусом r и толщиной dr (рис.2, б). Через площадь такого кольца в единицу времени протекает масса жидкости , где - плотность жидкости.

Учитывая (3), определяем всю массу жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени,

.

Окончательно получаем

. (5)

Масса жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени, пропорциональна четвертой степени радиуса трубы. Формулу (5) эмпирически получил Пуазейль в 1840 году и она была теоретически выведена Стоксом в 1845 году. Течение вязкой среды иногда называют «пуазейлевым» течением.

С другой стороны, масса жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени, равна

, (6)

где - средняя скорость движения частиц жидкости (газа) или скорость потока жидкости (газа).