Краткие теоретические сведения. Явление Холла заключается в том, что в кристаллическом твёрдом теле, помещённом в магнитное поле, при пропускании электрического тока плотностью

 

Явление Холла заключается в том, что в кристаллическом твёрдом теле, помещённом в магнитное поле, при пропускании электрического тока плотностью , направленного перпендикулярно вектору индукции магнитного поля , появится электрическое поле Холла с вектором напряжённости , перпендикулярном векторам и . Эта напряженность пропорциональна величинам и .

 

или в скалярной форме

, (5.1)

 

где R – коэффициент Холла или холловская постоянная для данного твёрдого тела.

Причиной появления поперечного холловского поля сторонних сил является сила Лоренца, действующая на движущиеся в результате наличия тока носители заряда. Рассмотрим явление подробнее.

Рис.5.1. Образец твердого тела.

x

y

z

– – – – – _–

b

a

+ + + + + + +

На рис.5.1 представляем образец твёрдого тела в виде прямоугольного параллелепипеда. Пусть вдоль ребра совпадающего с осью ОХ пропускается ток с плотностью . Тогда под действием силы Лоренца носителей с зарядом q будут смещаться к нижней грани (если q> 0) и накапливаться там. В верхней части образца останется нескомпенсированный отрицательный заряд и появится холловское поле Е_у. Процесс смещения зарядов будет протекать до тех пор, пока не наступит динамическое равновесие, то есть пока ток в направлении оси ОУ, вызванный силой Лоренца, не будет скомпенсирован током поля Холла Е_у. Пусть мы имеем не один, а два сорта носителей тока в образце (случай собственного полупроводника), тогда для каждого сорта носителей величину плотности тока любой природы можно выразить через подвижность носителей U, их заряд q, концентрацию n и напряжённость поля Е:

 

. (5.2)

 

Или, если два типа носителей, то продольный ток равен:

, (5.3)

 

где (5.4)

 

– плотности тока от первого и второго типа носителей соответственно.

Аналогично выразится поперечный ток, вызванный полем Холла

. (5.5)

 

F

j

Рис.5.2.

Введём понятие угла Холла (рис.5.2).

На рисунке 5.2 - это средняя скорость продольного движения (вдоль оси ОХ) данного i-го сорта носителей,

- сила Лоренца действующая на данный (i-й) сорт носителей,

- сила, действующая со стороны поля , вызывающего продольный ток .

При этом

.

 

Тогда . (5.6)

 

С другой стороны тангенс угла Холла можно выразить через отклонение тока вызванного силами Лоренца от продольного направления X

. (5.7)

 

Знак «+» соответствует положительным носителям заряда, а знак «–» – отрицательным.

Из (5.6) и (5.7) получим для каждого сорта носителей

 

(5.8)

 

Полный ток, под действием сил Лоренца будет равен:

 

.

С учётом (5.4) получим

 

. (5.9)

 

Подставим значение Е_х из (5.3) в (5.9) получим:

 

. (5.10)

 

Но как уже говорилось, при динамическом равновесии ток, вызванный силами Лоренца, и холловский ток должны быть равны

 

I_л=I_у.

 

Откуда следует, если учесть (5.5) и (5.10)

 

. (5.11)

 

Таким образом, коэффициент Холла будет равен:

 

. (5.12)

 

Если первый тип носителей дырки (n ₁= n _p, U ₁ = U_p), а второй тип – электроны (n ₂= n _е, U ₂ = U_е), и если при этом q₁=+e, а q₂=-e, то

 

, (5.13)

где е – элементарный заряд.

Из (5.13) видно, что по знаку эффекта Холла можно определить преобладающий тип носителей. Если же мы имеем только один тип носителей (пусть n_p = 0), то (5.13) перейдёт в известное из курса общей физики выражение

(5.14)

 

для собственных полупроводников n = n _е= n _p

 

. (5.15)

 

Как видим из (5.14) и (5.15) измерения эффекта Холла совместно с измерением других эффектов переноса, которые также определяются концентрацией и подвижностью носителей, например, проводимость, термоэдс и т.д. даёт возможность оценить эти параметры носителей.

Поскольку в соответствии с формулами (5.13) и (5.15) холловский коэффициент зависит от подвижности носителей, то с увеличением магнитного поля величина R может меняться, так как изменяется (как правило, уменьшается) подвижность носителей с увеличением индукции магнитного поля В. Поэтому, строго говоря, зависимость эдс Холла от магнитного поля нелинейна, а уравнение (5.1) не совсем справедливо. Это соотношение позволяет представить качественную картину явления.

Поэтому при исследовании явления Холла рекомендуется проводить измерения в различных по величине магнитных полях: слабых (до 0, 05 Тл), средних (до 0, 3 Тл) и сильных (~1 Тл).

Измерение же постоянной Холла основано на закономерности (5.1), из которой следует:

. (5.16)

 

Пусть мы имеем образец с шириной а и толщиной b, тогда

 

, (5.17)

 

где I – ток пропускаемый вдоль образца, который можно измерить.

Напряжённость холловского поля можно в линейном приближении представить

, (5.18)

 

где V_хол – холловская разность потенциалов, напряжение между верхней и нижней гранью, которое можно измерить.

Тогда

, (5.19)

где b – толщина образца,

В – индукция магнитного поля, в котором находиться образец.

Таким образом, для определения холловской постоянной необходимо с измерением тока, напряжения и размера, иметь источник магнитного поля и уметь определять его величину.

Наиболее распространёнными источниками магнитного поля являются соленоиды. Данный источник магнитного поля хорош тем, что внутри соленоида практически однородное магнитное поле при условии, что его длина много больше диаметра l> > d.

В этом случае индукция магнитного поля внутри соленоида определяется выражением

, (5.20)

 

где m ₀ = 4p× 10^-7 Гн/м – магнитная постоянная,

m – магнитная проницаемость среды (обычно воздух: m» 1),

N – полное число витков,

n = N / l – число витков на единичной длине соленоида,

I – ток соленоида.

Недостатком соленоидов, как источников магнитного поля является малая величина индукции магнитного поля при значительных токах I.

Для увеличения магнитных полей при разумных токах можно использовать электромагнит с ферромагнитным сердечником, у которого магнитная проницаемость m > > 1, например, железный сердечник (m» 4000).

В этом случае

 

, (5.21)

где N – число витков,

l – длина магнитопровода (по средней линии),

l₃ – величина зазора между полюсами электромагнита,

k – коэффициент определяемый формой наконечников полюсов магнита.

Недостатком электромагнитов является зависимость магнитной проницаемости сердечника от тока m =m (I). В связи с этим расчёт величины поля по формуле (5.21) мало пригоден.

В этом случае необходим измеритель поля, либо предварительная градуировка поля магнита в зависимости от тока магнита (градуировочная кривая или таблица).