ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАБОТЫ. Тело, изменением формы которого в процессе движения можно пренебречь, называют абсолютно твердым

 

Тело, изменением формы которого в процессе движения можно пренебречь, называют абсолютно твердым. В дальнейшим для краткости мы будем называть такое тело просто твердым. Число степеней свободы твердого тела равно шести. Это означает, что требуется шесть независимых величин, однозначно определяющих в каждый момент времени положение тела в пространстве. В качестве таковых можно взять три декартовых координаты центра масс тела и три угла, определяющих его ориентацию в пространстве. В соответствии с этим для описания движения твердого тела в общем случае требуется шесть независимых уравнений движения. Их можно представить в виде двух независимых векторных уравнений:

(1)

(2)

где m – масса тела, - скорость его центра масс, - результирующая внешних сил, действующих на тело, - момент импульса тела относительно некоторой точки, - суммарный момент внешних сил относительно той же точки. Соотношение (1) представляет собой уравнение движения центра масс тела. Соотношение (2) называют уравнением моментов. Оно описывает изменение ориентации тела в пространстве, т.е. его вращение.

Зная законы действующих сил и начальные условия, можно с помощью этих уравнений полностью решить задачу о движении тела, т.е. найти как скорость, так и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени. Однако решение уравнений (1) и (2) в общем случае представляет собой весьма сложную задачу. При ограничении свободы движения число независимых уравнений, требующихся для описания движения, уменьшается. Одним из частных случаев движения твердого тела является его вращение относительно неподвижной оси. В этом случае изменение положения тела в пространстве описывается только одной величиной – углом поворота тела вокруг этой оси. Для описания такого движения достаточно использовать лишь одно скалярное уравнение - проекцию (2) на ось вращения z:

(3)

 

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси Z с угловой скоростью (рис 1.3.1). Найдем проекцию момента импульса тела на ось Z. Разбивая мысленно тело на элементарные массы и учитывая, что скорость i-ой элементарной массы при ее вращательном движении

 

 

где - радиус-вектор i-ой точки тела, для момента импульса тела относительно точки О получаем следующее выражение

(4)

где сумма берется по всем элементарным массам тела., перепишем (4) в виде

(5)

Но поскольку параллелен оси Z, то где и - проекции векторов и на ось Z соответственно. Проектируя теперь уравнение (5) на ось Z почленно, находим

,

где - квадрат расстояния элементарной массы от оси вращения.

Величину называют моментом инерции тела относительно оси Z (см. лаб. работу №1.5.). Учитывая это, окончательно получим

(6)

С учетом (6) проекция уравнения моментов (3) на ось Z запишется так

или, поскольку для твердого тела I=const,

(7)

Это и есть уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси Z. Проекции и называют соответственно моментами импульса и силы относительно оси Z. Интегрирование уравнений (7) с учетом начальных условий позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси – найти зависимость от времени угловой скорости и угла поворота .

Уравнение (7) может быть экспериментально проверено на приборе Обербека.

Маятник Обербека (рис.1.3.2) состоит из шкива А диаметром d, к которому прикреплены четыре одинаковых стержня В, расположенных под углом 90° друг к другу. На стержнях могут закрепляться одинаковые грузы массой m¢ каждый, которые можно перемещать вдоль стержней, изменяя таким образом момент инерции маятника. На стержни нанесены деления, позволяющие измерять расстояния от грузов m¢ до оси вращения.

Маятник выводится из состояния покоя при помощи груза массой m, подвешенного на нити, намотанной на шкив.

На поступательно движущийся груз действует сила тяжести и сила упругости , приложенная со стороны нити (рис. 1.3.3.). На шкив маятника А действует сила тяжести , сила реакции опоры , силы трения в опоре и сила упругости нити . Моменты сил и относительно оси Z равны нулю, так обе силы при симметричном расположении грузов m¢ (и без них) на стержнях приложены в точке 0, лежащей на оси. Модули моментов сил трения и упругости (до момента соприкосновения груза со столом) относительно оси Z равны соответственно и , где r – радиус шкива.

 

Описание движения системы маятник – нить – груз значительно упростится, если пренебречь массой нити. В этом случае можно считать, что и для описания движения системы достаточно двух уравнений

(8)

(9)

где и - модули скорости груза и угловой скорости маятника, I- момент инерции маятника относительно оси Z. Здесь учтено также, что ,

Если теперь предложить, что нить нерастяжима и отсутствует ее проскальзывание при раскручивании шкива, то можно приравнять скорость груза линейной скорости точки шкива в месте касания нити

, (10)

установив таким образом связь между переменными v и w, входящим в уравнение (8) и (9).

Сначала груз m удерживается на площадке С (рис.1.3.2.), расположенной на высоте h от поверхности стола, причем h можно произвольно изменять. Если площадку убрать, груз m начнет двигаться вниз. Одновременно автоматически включается электросекундомер ЭС-1. В момент касания грузом стола секундомер отключается, зафиксировав время движения груза. Считая движение равноускоренным, находим, используя известный кинематический закон, ускорения груза

(11)