С ПОМОЩЬЮ ОБОРОТНОГО МАЯТНИКА

 

 

Цель работы:

 

1.Ознакомиться с теорией механических гармонических колебаний.

2.Измерить ускорение свободного падения тел с помощью оборотного маятника.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАБОТЫ

 

Процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени, называются колебаниями. Описывающие их функции времени обладают свойством периодичности. В частности, для механических колебаний таким свойством обладают обобщенные координаты системы, т.е. величины, однозначно определяющие в каждый момент времени положение системы в пространстве, но не обязательно являющиеся декартовыми координатами.

Различают свободные и вынужденные колебания. Свободными называются колебания, которые совершает система, предоставленная самой себе после какого-либо внешнего воздействия. Вынужденными называются колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Простейшими колебаниями являются гармонические колебания, при которых обобщенные координаты системы изменяются по закону синуса или косинуса. Этот вид колебаний особенно важен, во-первых, потому, что реальные колебания часто имеют характер близкий к гармоническим, а, во-вторых, периодические процессы с другой зависимостью от времени могут быть представлены в виде суперпозиции гармонических колебаний.

 

Гармонические колебания

 

В качестве примера рассмотрим движение материальной точки (частицы) массой m под действием упругой силы , где , - радиус-вектор частицы относительно положения равновесия.

Уравнение движения частицы в соответствии со вторым законом Ньютона запишется в виде

,

или

. (1)

Поскольку момент упругой силы относительно точки , то момент импульса частицы относительно той же точки . Поэтому движение будет происходить в фиксированной плоскости, перпендикулярной вектору . Введем в этой плоскости систему координат ХОУ с началом в положении равновесия частицы. Тогда, проектируя уравнение (1) на координатные оси, приходим к системе двух независимых дифференциальных уравнений

, (2)

. (3)

Будем искать решение уравнения (2) в виде

, (4)

где , , - некоторые константы. Дважды дифференцируя функцию (3) по времени, находим

. (5)

Подставляя (5) и (4) в (2), получаем

.

Поскольку ) не является тождественным нулем, то функция (4) будет решением уравнения (2) при произвольных и , но с

. (6)

Движение частицы, описываемое законом (4), называют гармоническими колебаниями.

Постоянную (6), определяющую период функции (4) (время одного полного колебания), называют циклической, или круговой частотой колебаний. Интервал времени называют периодом колебаний. Функцию называют фазой колебаний. Константу называют амплитудой колебаний. Значения постоянных и определяется из начальных условий и , задающих соответственно начальное положение и начальную скорость частицы.

Совершенно аналогично решение уравнения (3) запишется в виде

. (7)

Функции (4) и (7) определяют кинематический закон движения частицы под действием упругой силы. Вид траектории движения в плоскости ХОУ зависит от начальных условий, а следовательно, от значений констант .

В частности, если и , то уравнение траектории имеет вид , и частица совершает гармонические колебания с частотой и амплитудой вдоль диагонали прямоугольника со сторонами 2А и 2В (рис.1.6.1). Если же , а , то уравнение траектории имеет вид

,

т.е. частица движется по эллипсу с полуосями А и В (рис.1.6.2)

 

 

 

Рис.1.6.1 Рис.1.6.2

 

Таким образом, в данном случае периодическое движение по замкнутой кривой может рассматриваться как суперпозиция двух гармонических взаимно-перпендикулярных колебаний.

 

Физический маятник

 

Рассмотрим теорию колебаний физического маятника. Физическим маятником называют твердое тело, совершающее колебания вокруг оси, проходящей через любую его точку, не совпадающую с центром инерции (тяжести) тела. Это механическая система с одной степенью свободы. В

 

Рис.1.6.3

 

качестве обобщенной координаты выберем угол отклонения прямой, проходящей через точку подвеса О и центр инерции С (рис.1.6.3), от вертикали (положения равновесия). Будем считать также, что при и при . Допустим, что в рассматриваемый момент времени маятник движется от положения равновесия, т.е. , а угловая скорость . Момент силы тяжести относительно точки О в этом положении противоположен вектору (рис.1.6.3). Поскольку момент силы реакции оси относительно точки 0 равен нулю, то уравнение движения физического маятника запишется в виде

, (8)

где I – момент инерции маятника относительно оси Z. Но , , где - расстояние от точки подвеса до центра инерции маятника. Следовательно, вместо (8) получаем

,

или . (9)

Если ограничиться случаем малых колебаний т.е. углов отклонения, удовлетворяющих в радианной мере приближенному равенству , то уравнение (9) перепишется так:

. (10)

Сравнивая (10) с (2), заключаем, что общее решение этого уравнения имеет вид

, (11)

где , (12)

- угол наибольшего отклонения маятника от положения равновесия. Из (12) вытекает, что период малых колебаний физического маятника

. (13)

Таким образом, малые колебания физического маятника являются гармоническими.

Далее замечаем, что отношение имеет размерность длины: . Учитывая это обстоятельство, введем понятие приведенной длины физического маятника:

. (14)

Тогда формула (13) приобретает особенно простой вид:

. (15)

Приведенная длина физического маятника всегда больше l. Действительно, согласно теореме Штейнера

, (16)

где - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс параллельно оси Z (рис.1.6.3).

Разделив (16) почленно на ml, находим

.

Но . Поэтому и, следовательно, . Точку лежащую на прямой, проходящей через точку подвеса О и центр масс С, на расстоянии приведенной длины от точки О называют центром качания физического маятника. Точка подвеса и центр качания обладают замечательным свойством взаимности: если точку подвеса О и центр качания поменять местами, то период малых колебаний физического маятника не изменится. Действительно, новый период колебаний будет равен

, (17)

где - момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку , - расстояние от до центра масс С. Но согласно теореме Штейнера

. (18)

Вычитая из (18) (16), получаем

,

откуда с учетом (14)

. (19)

Подставляя (19) в (17) находим

 

ИЗМЕРЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

 

На свойстве взаимности точки подвеса и центра качания основано определение ускорения свободного падения с помощью так называемого оборотного маятника. Оборотным называется физический маятник, у которого имеются две параллельные друг другу закрепленные на осевом стержне маятника опорные призмы, за которые он может поочередно подвешиваться (рис.1.6.4).Вдоль того же стержня могут закрепляться и перемещаться тяжелые грузы. Перемещением призм (или грузов) добивают-

ся того, чтобы при подвешивании маятника за любую из призм период колебаний был одинаков. Тогда расстояние между опорными ребрами призм будет равно приведенной длине Измерив период колебаний маятника Т и , можно по формуле (15) найти ускорение свободного падения:

, (20)

где t – время n полных колебаний маятника. Таким образом, главная задача прямых измерений, с помощью которых определяется значение ускорения свободного падения, сводится к измерению приведенной длины физического маятника.

 

Порядок выполнения работы

 

1.Измерив расстояние L между опорными ребрами призм, подвесить маятник за призму (см.рис.4). Отклонить маятник на угол не более и по секундомеру измерить время t n= 20 полных колебаний.

2.Подвесить маятник за призму и измерить время того же числа полных колебаний.

3.Передвинуть внутреннюю призму на одно деление и, снова измерив расстояние L между опорными ребрами призм, проделать пп. 1–2. Далее проделать пп. 1-3 не менее пяти раз.

4.По полученным данным построить графики зависимостей t и от L. По точке пересечения этих графиков определить приведенную длину и соответствующее ей время n =20 полных колебаний маятника .

5. Рассчитать ускорение свободного падения по формуле (20):

 

.

 

 

Рис.1.6.5

 

Контрольные вопросы

 

1. Какие физические процессы называются колебаниями? Дайте определение свободных и вынужденных колебаний.

2. Какие колебания называют гармоническими? Запишите дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его общее решение. Дайте определение амплитуды, частоты и фазы гармонических колебаний.

3. Вычислите значение момента импульса частицы относительно точки 0 и ее полной механической энергии в случаях, изображенных на рис. 1.6.1 и 1.6.2. Проведите сравнительный анализ полученных результатов.

4. Чем отличаются движения материальной точки по траектории, изображенной на рис.1.6.2, в случаях и ?

5. Что собой представляет физический маятник? Запишите дифференциальное уравнение колебаний физического маятника и его общее решение в случае малых колебаний.

6. Дайте определение приведенной длины и центра качания физического маятника.

7. Сформулируйте и докажите теорему взаимности точек подвеса и центра качания. Как утверждение этой теоремы используется в работе?

 

Литература

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. – М.: Наука, 1987, §§ 49-54, 57.

3. Савельев И.В. Курс физики. Т.2. – М.: Наука, 1989. §§ 63-65, 69.

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1.7.

 

ИЗУЧЕНИЕ ТРЕНИЯ КАЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НАКЛОННОГО МАЯТНИКА.

 

Цель работы:

 

Измерить коэффициент трения качения с помощью наклонного маятника.