Крутильные колебания

Рассмотрим теперь явление, называемое крутильными колебаниями.

Установка, позволяющая создавать крутильные колебания состоит из штатива с зажимом для закрепления тонкой металлической проволоки, на нижнем конце которой можно подвешивать различные твердые тела (рисю1.4.3). Жестко закрепив концы проволоки в точках Аи В, повернем тело на малый угол вокруг оси проволоки Z и отпустим его. Под действием сил упругости, возникающих при кручении проволоки, тело начнет совершать колебания вокруг оси Z. Их и называют крутильными колебаниями.

Так как это один из видов движения твердого тела вокруг фиксированной оси, то его уравнение движения запишется так (см. лаб. работу № 1.3)

(6)

где I – момент инерции подвешенного тела относительно оси проволоки Z, а - момент сил упругости, действующих на тело со стороны проволоки, относительно той же оси. Но в соответствии с уравнением (3) . Тогда, учитывая, что , уравнение (6) можно представить в виде

(7)

Это уравнение гармонических колебаний (см. лаб. работу №1.6). Его общее решение можно записать в виде

(8)

где - максимальный угол закручивания проволоки (амплитуда колебаний), - начальная фаза колебаний, - циклическая частота колебаний, определяемая формулой

(9)

Тогда период крутильных гармонических колебаний

(10)

Формулу (10) можно использовать для косвенного измерения как момента инерции тела относительно произвольной оси (ее выбор определяется точкой подвеса тела), так и (с учетом формулы (2)) модуля сдвига материала проволоки.

 

Измерение момента инерции и модуля сдвига

 

Момент инерции твердого тела в ряде случаев можно легко рассчитать теоретически. В частности, момент инерции однородного диска (цилиндра), используемого в работе в качестве эталонного тела, относительно оси симметрии Z (рис.1.4.3) задается формулой

(11)

где m и D – соответственно масса и диаметр диска.

Подвешивая на одной и той же проволоке эталонное тело с известным , а затем тело с неизвестным моментом инерции I, можно экспериментально определить промежутки времени и , в течение которых совершаются и колебаний эталонным телом и телом с неизвестным моментом инерции. Тогда в соответствии с (10)

(12)

(13)

Разделив почленно (13) на (12), после возведения полученного равенства в квадрат находим

(14)

В процессе проведения эксперимента целесообразно выбрать . Тогда с учетом (11) для неизвестного момента инерции получаем следующую расчетную формулу

(15)

Для измерения модуля сдвига материала проволоки используется только эталонное тело. В этом случае из (11) и (12) с учетом (2) получаем

(16)

 

Порядок выполнения работы

 

1. Измерить диаметр и длину проволоки.

2. Измерить массу и диаметр эталонного диска.

3. Подвесить к проволоке эталонный диск и измерить время некоторого числа крутильных колебаний (угол закручивания не должен превышать 30°).

4. Подвесить к проволоке за одну из его точек тело с неизвестным моментом инерции (прямоугольная пластина) и измерить время t такого же как для эталонного диска числа колебаний. По формуле (15) рассчитать момент инерции этого тела.

5. Действия по пункту 4 проделать еще раз для двух других точек подвеса (определив таким образом моменты инерции прямоугольной пластины относительно трех взаимно перпендикулярных осей).

6. По известному времени и соответствующему числу колебаний эталонного диска рассчитать по формуле (16) модуль сдвига материала проволоки.

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. С какими физическими величинами вы познакомились при изучении теории и в процессе выполнения работы. Дайте определения этих величии.

2. Какие физические законы необходимо знать для понимания настоящей лабораторной работы? Сформулируйте эти законы и объясните, как они применяются в работе.

3. Изобразите графически зависимость от времени , , и проекции момента сил упругости на ось Z.

4. Рассчитайте теоретически моменты инерции ряда тел (диск, цилиндр, шар, конус, прямоугольный параллелепипед относительно разных осей (задача конкретизируется преподавателем)). Сравните полученные результаты с экспериментальными.

5. Получите формулу для расчета момента инерции (15) и формулу для расчета модуля сдвига (16).

6. Справедливо ли следующее утверждение: “Если масса и радиусы шара и диска равны, то момент инерции шара меньше момента инерции диска? ”

 

Литература

 

1.Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1988. т.1. - §§ 13, 26, 28-33.

2. Савельев И.В. Курс общей физики - М. Наука, 1989. т.1. - §§ 38, 39, 41, 43, 53.

 

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.5

 

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ МАХОВОГО

КОЛЕСА И СИЛЫ ТРЕНИЯ В ОПОРЕ

 

Цель работы:

 

1. Определить момент инерции махового колеса относительно оси вращения.

2. Определить силу трения в опорных стойках оси.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ РАБОТЫ

 

Моментом инерции твердого тела относительно некоторой оси оо¢ (рис.1.5) называют величину (1) где - масса i – й материальной точки, на которые на которые мысленно разбито тело , R_i - ее расстояние до выбранной оси. Если масса сосредоточена в элементарном объеме , а плотность вещества в окрестности рассматриваемой точки тела

, то и вместо (1) можно записать

(2)

 

Предлагаемый метод экспериментального определения момента инерции твердого тела основан на изменения механической энергии системы в процессе изучаемого движения (см. лаб.работу 1.2.).

(3)

где - кинетическая энергия системы, - ее собственная потенциальная энергия, - суммарная работа всех внешних сил, действующих на систему, - суммарная работа всех внутренних неконсервативных сил.

Если среди внешних сил имеются как консервативные, так и не-консервативные, то суммарная работа консервативных сил, если она не равна тождественно нулю, может быть представлена как убыль некоторой функции координат материальных точек системы , называемой потенциальной энергией системы во внешнем силовом поле. Например, система n – материальных точек, находящихся вне однородного шара массы М, обладает в его гравитационном поле потенциальной энергией вида

(4)

где и - соответственно масса i – й материальной точки и ее радиус - вектор, проведенный из центра шара, С - произвольная постоянная. С помощью выражения (4) легко показать, что в пределах небольших высот потенциальная энергия тела массы поверхности Земли равна

(5)

где g - ускорение свободного падения у поверхности Земли, h – высота центра инерции тела над произвольно выбранным у поверхности Земли нулевым уровнем потенциальной энергии (это достигается фиксацией в (4) численного значения константы С).

Представляя теперь в виде

(6)

где - - убыль потенциальной энергии системы во внешнем поле, - суммарная работа внешних неконсервативных сил, вместо (3) получаем

(7)

величину

(8)

называют полной механической энергией системы во внешнем поле.

Предлагаемый в данной работе метод определения момента инерции махового колеса основан на использовании закона изменения полной механической энергии системы в поле силы тяжести. В рассматриваемом случае на систему груз + маховик действуют внешние консервативные силы тяжести и реакции опоры, а также неконсервативные силы сопротивления воздуха и трения в опорных стойках махового колеса. Пренебрегая работой силы сопротивления воздуха и работой внутренних неконсервативных сил, пользуясь уравнением (7), запишем

(9)

где - работа силы трения в опоре.

Пусть в начальный момент времени подвешенный груз массой m (рис.1.5.2) Находится на высоте h (от наиболее низкого положе­ния, до которого может опустится груз. (рис.1.5.2). Тогда, учитывая возможность произвольного выбора нулевого уровня потенциальной энергии, начальная энергия рассматриваемой системы, в пренебрежении массой нити, будет равна

 

(10)

где П – сумма потенциальной энергии махового колеса со шкивом в поле силы тяжести и собственной потенциальной энергии системы. Считая, что изменение последней в. процессе движения пренебрежимо мало, в нижней точке для полной энергии получаем

(11)

где - скорость подвешенного тела в нижней точке, - угловая скорость вращения шкива в соответствующий момент времени, - момент инерции махового колеса относительно оси вращения. Тогда согласно (9),

(12)

где f – сила трения в опоре (предполагается, что в процессе движения f =const).

Силу трения можно вычислить, снова используя уравнение (9). Вращаясь по инерции, маховое колесо поднимает груз на высоту h₂< h₁. При этом согласно (9),

(13)

Складывая (12) и (13), получаем

(14)

Откуда

(15)

Так как, по предположению, движение груза равноускоренное, то в нижней точке

(16)

где t – время опускания груза. Поскольку нить сматывается со шкива без проскальзывания, то для угловой скорости в момент t имеем

(17)

где r - радиус шкива.

Представляя (15) - (17) в уравнение (12), после преобразований получаем искомую формулу для момента инерции:

(18)

 

Порядок выполнения работы

 

1. Определить при помощи технических весов массу подвешиваемого груза m.

2. Измерить штангенциркулем радиус шкива r.

3. Намотать на шкив нить с прикрепленным к свободному концу грузом. Установить груз на высоте h₁. Высоту h₁ отсчитать от наиболее низкого положения, на которое может опускаться груз.

4. По секундомеру определить время движения груза от верхней точки до нижнего положения.

5. Определить высоту h₂, на которую поднимется груз за счет инерции маховика.

6. По формулам (15) и (18) рассчитать силу трения в опоре и момент инерции махового колеса.

7. Провести измерения для трех различных подвешенных грузов.

8. Вычислить погрешности измерений f и I.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Какие физические понятия используются в данной работе? Дайте их определение.

2. Сформулируйте закон изменения полной механической энергии системы во внешнем поле.

3. Какие силы называются консервативными? Эквивалентны ли понятия консервативных и потенциальных сил?

4. Запишите кинематические законы равноускоренного движения мате­риальной точки по прямой и окружности, а также формулу, связывающую линейную и угловую скорости частицы при ее движении по окружности.

5. Получить, пользуясь выражением (4), формулу (5), приняв за нулевой уровень потенциальной энергии поверхность Земли.

6. Обосновать вывод формулы для f и I. сформулировать все необходимые для этого предположения.

 

Литература

 

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. – М.: Наука, 1989, §§ 19-22, 38, 39, 41, 45, 46.