Цель работы: получить навыки построения регрессионных моделей с помощью системы Maple.
Краткий теоретический материал. Парная регрессия – уравнение связи двух переменных:
,
где 
– зависимая переменная (результативный признак);
– независимая объясняющая переменная (фактор-признак).
Линейная парная регрессия: 
, где 
и 
− параметры регрессии, 
− случайная переменная или ошибка.
Построение уравнения регрессии сводится к оценке её параметров. Для этого используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических значений 
минимальна, т.е.:
.
Для нахождения оценок параметров регрессии решается следующая система относительно и :
Проверить значимость уравнения регрессии – значит установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным. Проверка значимости уравнения регрессии производится на основе дисперсионного анализа.
Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:
,
где 
− общая сумма квадратов отклонений;
– сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объяснённая» или «факторная»);
– остаточная сумма квадратов отклонений.
Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака характеризует коэффициент детерминации 
, который можно вычислить по формуле:
.
Например, коэффициент детерминации 
свидетельствует о том, что вариация исследуемой зависимой переменной на 87, 1 % объясняется изменчивостью объясняющей переменной 
.
Уравнение регрессии значимо на уровне 
, если фактическое значение 
– статистики
удовлетворяет условию 
, где 
− табличное значение -критерия Фишера; 
− число оцениваемых параметров уравнения регрессии (для линейной парной регрессии 
); 
− число наблюдений; 
, 
.
Задание. Рассматриваются случайные величины X и Y, между которыми существует статистическая зависимость. Случайная ве-личина X считается независимой переменной, Y – зависимой. По заданным в условии результатам измерения аппроксимировать статистическую зависимость подходящей линейной зависимостью. Уравнение прямой найти методом наименьших квадратов. Определить достоверность полученной зависимости.
Вариант 1
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| -1.45
| -1.83
| -1.25
| -1.05
| -1.24
| -0.99
| -0.77
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| -0.50
| -0.34
| 0.08
| 0.09
| 0.32
| 0.99
| 0.86
|
Вариант 2
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| -2.17
| -1.38
| -0.97
| -0.5
| -0.31
| -0.72
| -0.31
|
| x
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 0.2
| 0.92
| 0.99
| 1.05
| 1.30
| 1.41
| 1.89
|
Вариант 3
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 0.49
| 0.63
| 0.28
| 0.77
| 1.3
| 1.21
| 1.31
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 1.46
| 1.91
| 2.15
| 2.28
| 2.43
| 2.73
| 2.57
|
Вариант 4
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| -0.14
| 0.66
| 1.40
| 0.93
| 1.74
| 1.76
| 1.77
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 2.62
| 2.79
| 2.74
| 2.72
| 3.31
| 3.50
| 4.08
|
Вариант 5
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 2.02
| 2.07
| 2.44
| 2.71
| 2.96
| 2.91
| 3.32
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 3.49
| 3.46
| 3.97
| 4.12
| 3.94
| 4.68
| 4.92
|
Вариант 6
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 2.32
| 2.45
| 2.92
| 2.54
| 3.49
| 3.73
| 4.11
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 4.94
| 4.68
| 4.86
| 5.61
| 6.02
| 5.46
| 6.59
|
Вариант 7
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 3.91
| 3.89
| 4.70
| 4.99
| 4.94
| 5.48
| 5.38
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 5.49
| 5.4
| 5.71
| 6.52
| 6.35
| 6.52
| 7.14
|
Вариант 8
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 3.97
| 4.81
| 4.92
| 5.36
| 5.82
| 5.79
| 6.27
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 6.86
| 6.21
| 6.86
| 7.37
| 7.53
| 7.96
| 8.40
|
Вариант 9
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 2.26
| 1.68
| 1.48
| 1.27
| 1.18
| 1.13
| 0.65
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 0.74
| 0.22
| 0.22
| 0.02
| -0.38
| -0.57
| -0.92
|
Вариант 10
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 2.71
| 2.85
| 2.34
| 2.4
| 1.76
| 2.16
| 1.81
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 1.6
| 1.14
| 1.35
| 0.79
| 0.99
| 0.27
| 0.06
|
Вариант 11
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 4.09
| 3.64
| 3.43
| 3.19
| 3.10
| 3.06
| 2.68
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 2.24
| 2.26
| 2.04
| 1.96
| 1.19
| 1.50
| 1.04
|
Вариант 12
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 4.59
| 4.78
| 4.49
| 4.20
| 3.75
| 3.94
| 3.54
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 3.62
|
| 2.78
| 2.77
| 2.51
| 2.48
| 1.80
|
Вариант 13
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 5.89
| 5.34
| 5.62
| 5.19
| 4.75
| 4.65
| 4.25
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 4.25
| 4.23
| 3.96
| 3.82
| 3.56
| 3.24
| 2.89
|
Вариант 14
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 7.69
| 7.51
| 7.31
| 6.95
| 6.63
| 6.52
| 5.65
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 5.61
| 5.08
| 4.77
| 4.50
| 4.22
| 3.35
| 3.87
|
Вариант 15
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 4.87
| 4.99
| 5.07
| 5.44
| 5.36
| 5.43
| 5.50
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 5.64
| 5.86
| 5.79
| 5.92
| 6.36
| 6.08
| 6.5
|
Вариант 16
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| -1.46
| -1.84
| -1.26
| -1.06
| -1.25
| -0.98
| -0.78
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| -0.51
| -0.35
| 0.09
| 0.08
| 0.33
| 0.98
| 0.87
|
Вариант 17
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| -2.18
| -1.39
| -0.98
| -0.6
| -0.32
| -0.73
| -0.32
|
| x
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 0.21
| 0.93
| 0.98
| 1.06
| 1.31
| 1.42
| 1.88
|
Вариант 18
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 0.48
| 0.64
| 0.29
| 0.78
| 1.31
| 1.23
| 1.32
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 1.47
| 1.9
| 2.14
| 2.29
| 2.44
| 2.72
| 2.56
|
Вариант 19
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| -0.15
| 0.67
| 1.41
| 0.94
| 1.75
| 1.76
| 1.78
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 2.62
| 2.79
| 2.74
| 2.72
| 3.31
| 3.50
| 4.08
|
Вариант 20
| x
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
| -0.3
|
| y
| 2.02
| 2.07
| 2.44
| 2.71
| 2.96
| 2.91
| 3.32
|
| x
| -0.2
| -0.1
|
| 0.1
| 0.2
| 0.3
| 0.4
|
| y
| 3.49
| 3.46
| 3.97
| 4.12
| 3.94
| 4.68
| 4.92
|
Вариант 21
| x
| -0.11
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
|
| y
| 2.33
| 2.46
| 2.91
| 2.54
| 3.48
| 3.74
| 4.12
|
| x
| -0.3
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
|
| y
| 4.95
| 4.69
| 4.86
| 5.62
| 6.03
| 5.45
| 6.58
|
Вариант 22
| x
| -0.11
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
|
| y
| 3.91
| 3.89
| 4.70
| 4.99
| 4.94
| 5.48
| 5.38
|
| x
| -0.3
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
|
| y
| 5.49
| 5.4
| 5.71
| 6.52
| 6.35
| 6.52
| 7.14
|
Вариант 23
| x
| -0.11
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
|
| y
| 3.97
| 4.81
| 4.92
| 5.36
| 5.82
| 5.79
| 6.27
|
| x
| -0.3
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
|
| y
| 6.86
| 6.21
| 6.86
| 7.37
| 7.53
| 7.96
| 8.40
|
Вариант 24
| x
| -0.11
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
|
| y
| 2.26
| 1, 68
| 1.48
| 1.27
| 1.18
| 1.13
| 0.65
|
| x
| -0.3
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
|
| y
| 0.74
| 0.22
| 0.22
| 0.02
| -0.38
| -0.57
| -0.92
|
Вариант 25
| x
| -0.11
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
|
| y
| 2.71
| 2.85
| 2.34
| 2.4
| 1.76
| 2.16
| 1.81
|
| x
| -0.3
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
|
| y
| 1.6
| 1.14
| 1.35
| 0.79
| 0.99
| 0.27
| 0.06
|
Вариант 26
| x
| -0.11
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
|
| y
| 4.09
| 3.64
| 3.43
| 3.19
| 3.10
| 3.06
| 2.68
|
| x
| -0.3
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
|
| y
| 2.24
| 2.26
| 2.04
| 1.96
| 1.19
| 1.50
| 1.04
|
Вариант 27
| x
| -0.11
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
|
| y
| 4.59
| 4.78
| 4.49
| 4.20
| 3.75
| 3.94
| 3.54
|
| x
| -0.3
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
|
| y
| 3.62
|
| 2.78
| 2.77
| 2.51
| 2.48
| 1.80
|
Вариант 28
| x
| -0.11
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
|
| y
| 5.89
| 5.34
| 5.62
| 5.19
| 4.75
| 4.65
| 4.25
|
| x
| -0.3
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
|
| y
| 4.25
| 4.23
| 3.96
| 3.82
| 3.56
| 3.24
| 2.89
|
Вариант 29
| x
| -0.11
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
|
| y
| 7.69
| 7.51
| 7.31
| 6.95
| 6.63
| 6.52
| 5.65
|
| x
| -0.3
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
|
| y
| 5.61
| 5.08
| 4.77
| 4.50
| 4.22
| 3.35
| 3.87
|
Вариант 30
| x
| -0.11
| -0.9
| -0.8
| -0.7
| -0.6
| -0.5
| -0.4
|
| y
| 4.87
| 4.99
| 5.07
| 5.44
| 5.36
| 5.43
| 5.50
|
| x
| -0.3
| -0.2
| -0.1
| 0.
| 0.1
| 0.2
| 0.3
|
| y
| 5.64
| 5.86
| 5.79
| 5.92
| 6.36
| 6.08
| 6.5
|
