Пример выполнения лабораторной работы

Задача 1. Вероятности выигрыша по облигациям займа равна 0, 25. Какова вероятность того, что из 8 взятых облигаций:

а) выиграют ровно 3;

б) выиграют не более 3;

в) выиграют не менее 4.

Решение. а) Так как число облигаций, участвующих в розыгрыше, невелико, воспользуемся формулой Бернулли для решения задачи:

> restart: n: =8; m: =3; p: =0.25;

n: =8

m: =3

p: =0.25

Применим формулу Бернулли:

> P(n, m, p): =n! /(m! *(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);

P(8, 3, 0, 25): =0, 2076416016

б) Искомую вероятность найдём по формуле .

Проводим вычисления.

> P(n, k< =m, p): =sum(n! /(i! *(n-i)!)*p^i*(1-p)^(n-i), i=0..3);

P(8, k≤ 3, 0.25)=0.8861846924

в) Вероятность события «выиграют не менее 4» находим как вероятность противоположного события к событию «выиграют не более 3»:

> P(n, k> =m+1, p): =1 – P(n, k< =m, p);

P(8, 4≤ k, 0.25)=0.1138153076

Задача 2. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0, 01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено:

а) ровно 4 пары;

б) не более 4 пар;

в) не менее 3 и не более 8 пар.

Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем

> restart: n: =200; m: =4; p: =0.01;

n: =200

m: =4

p: =0.01

По формуле Бернулли:

> P(n, m, p): =n! /(m! *(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);

P(200, 4, 0.01): =0.09021970194

По формуле Пуассона:

> P1(n, m, p): =evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!);

P1(200, 4, 0.01): = 0.09022352212

С использованием локальной теоремы Муавра – Лапласа:

> x: =(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));

x: =1.421338109

> P(n, p, x): =evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2));

P(200, 4, 1.421338109): =0.1032514539

Делаем вывод о том, что более точный результат даёт формула Пуассона.

Замечание. При больших и при малых значениях более точный результат даёт формула Пуассона, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием этой формулы.

б) Находим искомую вероятность по формуле:

> P(n, k< =4, p): =evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!, i=0..4));

P(200, k≤ 4, 0.01): = 0.9473469824

в) Найдём вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено не менее 3 и не более 8 пар. Воспользуемся вновь формулой Пуассона:

> P(n, 3< =k, k< =8, p): =evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!, i=3..8));

P(200, 3< =k, k< =8, 0, 01): = 0.05241557000

 

Задача 3. Вероятность того, что случайный покупатель потратит в супермаркете более 500 руб., равна 0, 24. Найти вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят:

а) ровно 100 чел.;

б) не более 100 чел.;

в) не менее 85 и не более 125 чел.;

Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем > restart: n: =400; m: =100; p: =0.24;

n: =400

m: =100

p: =0.24

По формуле Бернулли:

> P(n, m, p): =n! /(m! *(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);

P(400, 100, 0.24): = 0.04128662045

По формуле Пуассона:

> P1(n, m, p): =evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!);

P1(400, 100, 0.24): = 0.03671549490

Локальная теорема Муавра – Лапласа:

> x: =(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));

x: =0.4682929058

> P(n, p, x): =evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2));

P(400, 100, 0.4682929058): = 0.04185502868

Делаем вывод о том, что в данной ситуации более точный результат даёт локальная теорема Муавра – Лапласа, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием интегральной теоремы Муавра – Лапласа.

б) Имеем

> m1: =0; m2: =100;

m1: =0

m2: =100

> x1: =(m1-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)); x2: =(m2-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));

x1: = -11.23902974

x2: = 0.4682929058

> P(n, m1< =k, k< =m2, p): =evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2), x=x1..x2));

P(400, 0≤ k≤ 100, 0.24)=0.6802124294

в) Найдём вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят не менее 85 и не более 125 чел.

> m1: =85; m2: =125;

m1: =85

m2: =125

> P(n, m1< =k, k< =m2, p): =evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2), x=x1..x2));

P(400, 85≤ k≤ 125, 0.24)=0.9007501711

Контрольные вопросы

1. Какие испытания называются независимыми? Приведите при-меры независимых испытаний.

2. Что понимают под схемой Бернулли? Приведите примеры ситуаций, в которых присутствует схема Бернулли.

3. Что такое «успех» и «неудача» в схеме Бернулли? Как связаны их вероятности?

4. Запишите формулу Бернулли. Какую вероятность вычисляют по этой формуле? Приведите примеры задач, в которых используется формула Бернулли.

5. В каких случаях и какие приближённые формулы используют в схеме Бернулли?

6. При каких условиях более точный результат даёт та или иная приближённая формула?

7. Приведите примеры задач, в которых используются формула Пуассона и локальная теорема Муавра – Лапласа.

8. Как найти вероятность того, что в п испытаниях схемы Бернулли «успех» наступит: а) не более m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) менее m раз.

9. Сформулируйте интегральную теорему Муавра – Лапласа. Приведите примеры задач, в которых используется эта теорема.

10. Каким образом нужно решать следующую задачу: найти вероятность того, что в 450 независимых испытаниях «успех» наступит не менее 10 и не более 15 раз, если вероятность «успеха» в каждом испытании равна 0, 3 (если вероятность «успеха» в каждом испытании равна 0, 03).