Пример выполнения лабораторной работы

Задача 1. Вероятности выигрыша по облигациям займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 взятых облигаций:

а) выиграют ровно 3;

б) выиграют не более 3;

в) выиграют не менее 4.

Решение. а) Так как число облигаций, участвующих в розыгрыше, невелико, воспользуемся формулой Бернулли для решения задачи:

> restart: n:=8;m:=3;p:=0.25;

n:=8

m:=3

p:=0.25

Применим формулу Бернулли:

> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);

P(8,3,0,25):=0,2076416016

б) Искомую вероятность найдём по формуле .

Проводим вычисления.

> P(n,k<=m,p):=sum(n!/(i!*(n-i)!)*p^i*(1-p)^(n-i),i=0..3);

P(8,k≤ 3,0.25)=0.8861846924

в) Вероятность события «выиграют не менее 4» находим как вероятность противоположного события к событию «выиграют не более 3»:

>P(n,k>=m+1,p):=1 – P(n,k<=m,p);

P(8,4≤ k,0.25)=0.1138153076

Задача 2. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено:

а) ровно 4 пары;

б) не более 4 пар;

в) не менее 3 и не более 8 пар.

Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем

> restart: n:=200;m:=4;p:=0.01;

n:=200

m:=4

p:=0.01

По формуле Бернулли:

> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);

P(200,4,0.01):=0.09021970194

По формуле Пуассона:

> P1(n,m,p):=evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!);

P1(200,4,0.01):= 0.09022352212

С использованием локальной теоремы Муавра – Лапласа:

> x:=(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));

x:=1.421338109

> P(n,p,x):=evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2));

P(200,4, 1.421338109):=0.1032514539

Делаем вывод о том, что более точный результат даёт формула Пуассона.

Замечание. При больших и при малых значениях более точный результат даёт формула Пуассона, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием этой формулы.

б) Находим искомую вероятность по формуле:

>P(n,k<=4,p):=evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!,i=0..4));

P(200,k≤ 4,0.01):= 0.9473469824

в) Найдём вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено не менее 3 и не более 8 пар. Воспользуемся вновь формулой Пуассона:

> P(n,3<=k,k<=8,p):=evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!,i=3..8));

P(200, 3<=k,k<=8, 0,01):= 0.05241557000

 

Задача 3. Вероятность того, что случайный покупатель потратит в супермаркете более 500 руб., равна 0,24. Найти вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят:

а) ровно 100 чел.;

б) не более 100 чел.;

в) не менее 85 и не более 125 чел.;

Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем > restart: n:=400;m:=100;p:=0.24;

n:=400

m:=100

p:=0.24

По формуле Бернулли:

> P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m);

P(400,100,0.24):= 0.04128662045

По формуле Пуассона:

> P1(n,m,p):=evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!);

P1(400,100,0.24):= 0.03671549490

Локальная теорема Муавра – Лапласа:

> x:=(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));

x:=0 .4682929058

> P(n,p,x):=evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2));

P(400,100,0 .4682929058):= 0.04185502868

Делаем вывод о том, что в данной ситуации более точный результат даёт локальная теорема Муавра – Лапласа, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием интегральной теоремы Муавра – Лапласа.

б) Имеем

> m1:=0;m2:=100;

m1:=0

m2:=100

> x1:=(m1-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)); x2:=(m2-n*p)/sqrt(n*p*(1-p));

x1:= -11.23902974

x2:= 0.4682929058

> P(n,m1<=k,k<=m2,p):=evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=x1..x2));

P(400, 0≤k≤100, 0.24)=0 .6802124294

в) Найдём вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят не менее 85 и не более 125 чел.

> m1:=85;m2:=125;

m1:=85

m2:=125

> P(n,m1<=k,k<=m2,p):=evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=x1..x2));

P(400,85≤k≤125,0.24)=0 .9007501711

Контрольные вопросы

1. Какие испытания называются независимыми? Приведите при-меры независимых испытаний.

2. Что понимают под схемой Бернулли? Приведите примеры ситуаций, в которых присутствует схема Бернулли.

3. Что такое «успех» и «неудача» в схеме Бернулли? Как связаны их вероятности?

4. Запишите формулу Бернулли. Какую вероятность вычисляют по этой формуле? Приведите примеры задач, в которых используется формула Бернулли.

5. В каких случаях и какие приближённые формулы используют в схеме Бернулли ?

6. При каких условиях более точный результат даёт та или иная приближённая формула?

7. Приведите примеры задач, в которых используются формула Пуассона и локальная теорема Муавра – Лапласа.

8. Как найти вероятность того, что в п испытаниях схемы Бернулли «успех» наступит: а) не более m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) менее m раз.

9. Сформулируйте интегральную теорему Муавра – Лапласа. Приведите примеры задач, в которых используется эта теорема.

10. Каким образом нужно решать следующую задачу: найти вероятность того, что в 450 независимых испытаниях «успех» наступит не менее 10 и не более 15 раз, если вероятность «успеха» в каждом испытании равна 0,3 (если вероятность «успеха» в каждом испытании равна 0,03).