Пример выполнения лабораторной работыЗадача 1. Вероятности выигрыша по облигациям займа равна 0,25. Какова вероятность того, что из 8 взятых облигаций: а) выиграют ровно 3; б) выиграют не более 3; в) выиграют не менее 4. Решение. а) Так как число облигаций, участвующих в розыгрыше, невелико, воспользуемся формулой Бернулли для решения задачи: > restart: n:=8;m:=3;p:=0.25; n:=8 m:=3 p:=0.25 Применим формулу Бернулли: > P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m); P(8,3,0,25):=0,2076416016 б) Искомую вероятность найдём по формуле Проводим вычисления. > P(n,k<=m,p):=sum(n!/(i!*(n-i)!)*p^i*(1-p)^(n-i),i=0..3); P(8,k≤ 3,0.25)=0.8861846924 в) Вероятность события «выиграют не менее 4» находим как вероятность противоположного события к событию «выиграют не более 3»: >P(n,k>=m+1,p):=1 – P(n,k<=m,p); P(8,4≤ k,0.25)=0.1138153076 Задача 2. Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность того, что в магазин будет возвращена бракованная пара, равна 0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено: а) ровно 4 пары; б) не более 4 пар; в) не менее 3 и не более 8 пар. Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем > restart: n:=200;m:=4;p:=0.01; n:=200 m:=4 p:=0.01 По формуле Бернулли: > P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m); P(200,4,0.01):=0.09021970194 По формуле Пуассона: > P1(n,m,p):=evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!); P1(200,4,0.01):= 0.09022352212 С использованием локальной теоремы Муавра – Лапласа: > x:=(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)); x:=1.421338109 > P(n,p,x):=evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2)); P(200,4, 1.421338109):=0.1032514539 Делаем вывод о том, что более точный результат даёт формула Пуассона. Замечание. При больших б) Находим искомую вероятность по формуле:
>P(n,k<=4,p):=evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!,i=0..4)); P(200,k≤ 4,0.01):= 0.9473469824 в) Найдём вероятность того, что из проданных пар обуви будет возвращено не менее 3 и не более 8 пар. Воспользуемся вновь формулой Пуассона: > P(n,3<=k,k<=8,p):=evalf(sum((n*p)^i*exp(-n*p)/i!,i=3..8)); P(200, 3<=k,k<=8, 0,01):= 0.05241557000
Задача 3. Вероятность того, что случайный покупатель потратит в супермаркете более 500 руб., равна 0,24. Найти вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят: а) ровно 100 чел.; б) не более 100 чел.; в) не менее 85 и не более 125 чел.; Решение. Найдём точное значение вероятности в задаче а) по формуле Бернулли и приближённые значения вероятности с помощью формулы Пуассона и локальной теоремы Муавра – Лапласа. Имеем > restart: n:=400;m:=100;p:=0.24; n:=400 m:=100 p:=0.24 По формуле Бернулли: > P(n,m,p):=n!/(m!*(n-m)!)*p^m*(1-p)^(n-m); P(400,100,0.24):= 0.04128662045 По формуле Пуассона: > P1(n,m,p):=evalf((n*p)^m*exp(-n*p)/m!); P1(400,100,0.24):= 0.03671549490 Локальная теорема Муавра – Лапласа: > x:=(m-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)); x:=0 .4682929058 > P(n,p,x):=evalf(1/sqrt(n*p*(1-p))*(1/sqrt(2*Pi))*exp(-x^2/2)); P(400,100,0 .4682929058):= 0.04185502868 Делаем вывод о том, что в данной ситуации более точный результат даёт локальная теорема Муавра – Лапласа, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием интегральной теоремы Муавра – Лапласа. б) Имеем > m1:=0;m2:=100; m1:=0 m2:=100 > x1:=(m1-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)); x2:=(m2-n*p)/sqrt(n*p*(1-p)); x1:= -11.23902974 x2:= 0.4682929058 > P(n,m1<=k,k<=m2,p):=evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=x1..x2)); P(400, 0≤k≤100, 0.24)=0 .6802124294 в) Найдём вероятность, что из 400 покупателей более 500 руб. потратят не менее 85 и не более 125 чел. > m1:=85;m2:=125; m1:=85 m2:=125 > P(n,m1<=k,k<=m2,p):=evalf(1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=x1..x2)); P(400,85≤k≤125,0.24)=0 .9007501711 Контрольные вопросы 1. Какие испытания называются независимыми? Приведите при-меры независимых испытаний. 2. Что понимают под схемой Бернулли? Приведите примеры ситуаций, в которых присутствует схема Бернулли. 3. Что такое «успех» и «неудача» в схеме Бернулли? Как связаны их вероятности? 4. Запишите формулу Бернулли. Какую вероятность вычисляют по этой формуле? Приведите примеры задач, в которых используется формула Бернулли. 5. В каких случаях и какие приближённые формулы используют в схеме Бернулли ? 6. При каких условиях более точный результат даёт та или иная приближённая формула? 7. Приведите примеры задач, в которых используются формула Пуассона и локальная теорема Муавра – Лапласа. 8. Как найти вероятность того, что в п испытаниях схемы Бернулли «успех» наступит: а) не более m раз; б) более m раз; в) не менее m раз; г) менее m раз. 9. Сформулируйте интегральную теорему Муавра – Лапласа. Приведите примеры задач, в которых используется эта теорема. 10. Каким образом нужно решать следующую задачу: найти вероятность того, что в 450 независимых испытаниях «успех» наступит не менее 10 и не более 15 раз, если вероятность «успеха» в каждом испытании равна 0,3 (если вероятность «успеха» в каждом испытании равна 0,03).
|
.
и при малых значениях 
более точный результат даёт формула Пуассона, поэтому задачи б) и в) будем решать с использованием этой формулы.
