Примеры распределений с.в

1) Пусть Х – число успехов в схеме Бернулли (n – число испытаний, p – вероятность успеха, q =1– p). Тогда закон распределения случайной величины Х задаётся соответствием , i =0, …, n. Этот закон называется биномиальным. Для этого распределения математическое ожидание и дисперсия , .

2)Случайная величина Х называется равномерно распределённой на отрезке [ a, b ], если её плотность распределения имеет вид:

График плотности и функции распределения приведены на рисунке 1.

	а) б)

 

Рис. 1. График плотности и функции распределения:

а – график плотности распределения; б – график функции распределения

 

Для равномерного распределения , .

Экспоненциальное (или показательное) распределение имеет пло-тность распределения вида:

Например, из практики известно, что время безотказной работы телевизора распределено по показательному закону. Смысл параметра l в том, что число 1/l равно среднему времени безотказной работы телевизора.

 

Рис. 2. График плотности экспоненциального распределения

 

Математическое ожидание и дисперсия показательного распределения, соответственно, равны: , .

Случайная величина Х называется нормально распределённой (имеющей распределение Гаусса), если её плотность вероятности имеет вид:

.

Нормальное распределение будем обозначать N (a, s). Тогда X Î N(a, s) означает, что с.в. X имеет нормальное распределение с параметрами a, s. Плотность зависит от двух параметров a и s> 0. Если параметры a = 0, σ = 1, то такая нормально распределённая случайная величина называется стандартной нормальной случайной величиной.

Математическое ожидание и дисперсия нормального распределения, соответственно, равны: , .

Функция распределения равна:

.

График плотности нормального распределения изображён на рисунке 3.

Рис. 3. График плотности нормального распределения

В природе часто встречаются нормально распределённые с.в. Так, «естественные» размеры человека (рост, вес и т.д.), деревьев (высота, диаметр ствола) распределены нормально.

Задание1. Для данной дискретной случайной величины построить многоугольник распределения, найти функцию распределения и построить её график. Найти математическое ожидание и дисперсию.

Варианты заданий

Вариант 1

X	-5
P	0, 3	0, 1	0, 25	0, 15	0, 2

 

Вариант 2

X	-4	-2
P	0, 2	0, 25	0, 2	0, 15	0, 2

Вариант 3

X	-5	-2
P	0, 2	0, 3	0, 1	0, 25	0, 15

 

Вариант 4

X	-7	-4	-2
P	0, 35	0, 15	0, 2	0, 1	0, 2

 

Вариант 5

X	-6	-3
P	0, 25	0, 2	0, 1	0, 2	0, 25

 

Вариант 6

X
P	0, 3	0, 1	0, 2	0, 05	0, 35

 

Вариант 7

X	-5	-2
P	0, 3	0, 25	0, 1	0, 05	0, 3

 

Вариант 8

X	-2	-1
P	0, 3	0, 15	0, 2	0, 1	0, 25

Вариант 9

X
P	0, 3	0, 3	0, 15	0, 05	0, 2

 

Вариант 10

X	-6	-5	-3	-2
P	0, 2	0, 2	0, 1	0, 35	0, 15

 

Вариант 11

X	-3	-1
P	0, 1	0, 2	0, 15	0, 05	0, 5

 

Вариант 12

X	-5	-4	-2
P	0, 4	0, 2	0, 1	0, 1	0, 2

 

Вариант 13

X	-1
P	0, 3	0, 15	0, 2	0, 05	0, 3

 

Вариант 14

X	-5	-3
P	0, 3	0, 25	0, 1	0, 05	0, 3

 

Вариант 15

X	-4
P	0, 3	0, 1	0, 25	0, 15	0, 2

 

Вариант 16

X	-2	-1
P	0, 2	0, 25	0, 2	0, 15	0, 2

 

Вариант 17

X	-5	-1
P	0, 2	0, 3	0, 1	0, 25	0, 15

 

Вариант 18

X	-8	-6	-4	-3
P	0, 35	0, 15	0, 2	0, 1	0, 2

Вариант 19

X	-3	-2
P	0, 25	0, 2	0, 1	0, 2	0, 25

 

Вариант 20

X	-1
P	0, 3	0, 1	0, 2	0, 05	0, 35

 

Вариант 21

X	-3	-2
P	0, 3	0, 25	0, 1	0, 05	0, 3

 

Вариант 22

X	-3	-1
P	0, 3	0, 15	0, 2	0, 1	0, 25

 

Вариант 23

X	-11	-6	-2
P	0, 3	0, 3	0, 15	0, 05	0, 2

 

Вариант 24

X	-1
P	0, 2	0, 2	0, 1	0, 35	0, 15

 

Вариант 25

X	-3	-1
P	0, 1	0, 2	0, 15	0, 05	0, 5

 

Вариант 26

X	-2	-1
P	0, 1	0, 2	0, 15	0, 15	0, 4

 

Вариант 27

X	-2	-1
P	0, 1	0, 2	0, 3	0, 2	0, 2

 

Вариант 28

X	-3	-1
P	0, 3	0, 1	0, 1	0, 3	0, 2

Вариант 29

X	-4	-1
P	0, 2	0, 1	0, 15	0, 15	0, 4

 

Вариант 30

X	-2
P	0, 3	0, 1	0, 2	0, 1	0, 3