Схема Бернулли

 

 

Цель работы: научиться пользоваться формулами Бернулли, Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра – Лапласа, по условию задачи правильно выбирать и применять для решения нужную формулу.

Краткий теоретический материал. Схема Бернулли состоит в следующем: проводится n независимых испытаний, в каждом испытании вероятность появления некоторого события A одна и та же и равна p. Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A наступит ровно m раз, определяется по формуле Бернулли:

где , .

При больших значениях n вычисление вероятности по формуле Бернулли превращается в технически сложную задачу. Поэтому применяют формулы, дающие приближенное значение такой вероятности.

Локальная теорема Муавра – Лапласа. Если в схеме Бернулли вероятность успеха равна , то при больших n

где

Функция – чётная, т.е. для всех . Значения функции приведены в таблице приложения 1.

Замечание: теоремой Муавра – Лапласа рекомендуется пользоваться, когда . В случае, когда , более точное приближение даёт формула Пуассона:

где

Значения функции приведены в таблице приложения 3.

Если требуется найти вероятность того, что событие A наступит не менее и не более раз, то при больших n и при можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра – Лапласа:

, где ,

, .

Функция нечётная, её значения приведены в таблице приложения 2. Также для этой цели можно использовать формулу Пуассона: .

Задание. Решить задачи 1, 2, 3, применяя формулы Бернулли, Пуассона, локальную и интегральную теоремы Муавра – Лапласа. Расчёты вероятности в каждой задаче провести с использованием пакета прикладных программ Maple. Сравнить результаты, сделать выводы.

Варианты заданий

Задача 1 ( номер варианта).

Варианты 1–5. Вероятность того, что деталь при проверке окажется бракованной, равна 0, 05. Найти вероятности того, что среди проверенных десяти деталей:

а) ровно окажутся бракованными;

б) не более окажутся бракованными;

в) не менее окажутся бракованными.

Варианты 6 – 10. Вероятность попадания при каждом из 12 выстрелов равна 0, 75. Найти вероятности того, что мишень будет поражена:

а) ровно раз;

б) не более раз;

в) не менее раза.

Варианты 11–15. Вероятность того, что лотерейный билет будет выигрышным, считается постоянной и равной 0, 02. Найти вероятности того, что среди 9 купленных билетов:

а) ровно окажутся выигрышными;

б) не более окажутся выигрышными;

в) не менее окажутся выигрышными.

Варианты 16–20. Найти вероятности того, что при 11 бросаниях игральной кости шестёрка выпадет:

а) ровно раз;

б) не более раз;

в) не менее раз.

Варианты 21–25. Вероятность того, что зашедший в магазин человек сделает покупку, равна 0, 42. Найти вероятность того, что из 15 человек покупку сделают:

а) ровно человек;

б) не более человек;

в) не менее человек.

Задача 2 ( номер варианта). При перевозке стеклотары вероятность боя одной бутылки равна 0, 002. Найти вероятности того, что при перевозке бутылок будет разбито:

а) ровно 3 бутылки;

б) не более 3 бутылок;

в) не менее 3 и не более бутылок.

Задача 3 ( номер варианта). Вероятность всхода семян данного растения равна 0, 85. Найти вероятности того, что при посадке семян взойдёт:

а) ровно растений;

б) не менее 400 растений;

в) не менее 420 и не более растений.