Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил

 

Варианты 1–5 (рисунок 21, схема 1). Тело движется из точки по участку (длинной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, в течение , с. Его начальная скорость u_а. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен .

В точке тело покидает плоскость со скоростью и попадает со скоростью в точку плоскости , наклонённой под углом к горизонту, находясь в воздухе с.

При решении задачи тело принять за материальную точку, сопротивление воздуха не учитывать.

В.1. Дано: ; ; ; ; . Определить

В.2. Дано: ; ; ; ; . Определить уравнение траектории точки на участке и .

В.3. Дано: ; ; ; ; ; . Определить: , .

В.4. Дано: ; ; ; .

Определить , .

В.5. Дано: ; ; ; .

Определить .

Варианты 6-10 (рисунок 21, схема 2). Лыжник подходит к точке по участку трамплина (длинной l), наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, в течение , с. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения лыж на участке равен .

В точке он покидает трамплин со скоростью . Через Т с лыжник приземлится и попадает со скоростью в точку горы, наклонённой под углом к горизонту.

При решении задачи тело лыжника принять за материальную точку и сопротивление воздуха не учитывать.

В.6. Дано: ; ; ; . Определить , .

В.7. Дано: ; ; ; ; .

Определить и Т.

В.8. Дано: ; ; ;

Определить .

В.9. Дано: ; ; ; . Определить и .

В.10. Дано: ; ; ; ; . Определить и уравнение движения лыжника;

Варианты 11-15 (рисунок 21, схема 3). Мотоциклист движется из точки со скоростью по участку дороги (длинной l) наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, в течение , с. При постоянной на всём участке движущей силе мотоцикл в точке приобретает скорость и перелетает через ров шириной , находясь в воздухе с и приземляясь в точке со скоростью . Масса мотоцикла с мотоциклистом равна .

При решении задачи мотоциклиста принять за материальную точку: сопротивление движению не учитывать.

В.11. Дано: ; ; ; ; ; . Определить: и h.

В.12. Дано: ; ; ; ; . Определить: , .

В.13. Дано: ; ; ; . Определить: , .

В.14. Дано: ; ; ; ; . Определить: ; .

В.15. Дано: ; ; ; ; ; . Определить: , .

Варианты 16-20 (рисунок 21, схема 4). Камень скользит в течение с из точки по участку (длинной l) откоса, составляющей угол с горизонтом. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен .

В точке камень покидает откос со скоростью и попадает в точку вертикальной защитной стены, находясь в воздухе Т с ударяется в точке о вертикальную защитную стену.

При решении задачи камень принять за материальную точку: сопротивление воздуха не учитывать.

В. 16. Дано: ; ; ; ; .

Определить и .

В. 17. Дано: ; ; ; .

Определить и .

В. 18. Дано: ; ; ; ; .

Определить и .

В. 19. Дано: ; ; ; .

Определить и .

В. 20. Дано: ; ; ; .

Определить и .

Варианты 21-25 (рисунок 21, схема 5). Тело движется из точки А по участку АВ (длиной ) наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Его начальная скорость . Коэффициент трения скольжения равен . Через с тело в точке со скоростью покидает наклонную плоскость и падает на горизонтальную плоскость в точку со скоростью ; при этом оно находится в воздухе Т с.

При решении задачи принять тело за материальную точку и не учитывать сопротивление воздуха.

В. 21. Дано: ; ; ; .

Определить и .

В. 22. Дано: ; ; ; .

Определить и уравнение траектории на участке .

В. 23. Дано: ; ; ; ; .

Определить и Т.

В. 24. Дано: ; ; ; ; .

Определить и .

В. 25. Дано: ; ; ; ; .

Определить и .

Варианты 26-30 (рисунок 21, схема 6). Имея в точке А скорость , тело движется по горизонтальному участку длиной в течение с. Коэффициент трения скольжения тела по плоскости равен . Со скоростью тело в точке покидает плоскость и попадает в точку со скоростью , находясь в воздухе Т с. При решении задачи принять тело за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.

В. 26. Дано: ; ; ; .

Определить и .

В. 27. Дано: ; ; .

Определить и .

В. 28. Дано: ; ; ; .

Определить и Т.

В. 29. Дано: ; ; ; .

Определить и .

В. 30. Дано: ; ; ; .

Определить и .

Рисунок 21

Пример выполнения задания (рисунок 22). В железнодорожных скальных выемках для защиты кюветов от попадания в них с откосов каменных осыпей устраивается «полка» . Учитывая возможность движения камня из наивысшей точки и полагая при этом его начальную скорость , определить наименьшую ширину полки b и скорость , с которой камень падает на нее. По участку откоса, составляющему угол с горизонтом и имеющему длину , камень движется с.

При решении задачи считать коэффициент трения скольжения камня на участке постоянным, а сопротивлением воздуха пренебречь.

Дано: ; ; ; ; ; .

Определить и .

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим движение камня на участке . Принимая камень за материальную точку, покажем (рисунок 22) действующие на него силы: вес , нормальную реакцию и силу трения скольжения . Составим дифференциальное уравнение движения камня на участке АВ:

;