Задания. Разработайте алгоритм, программу и контрольные примеры

 

Разработайте алгоритм, программу и контрольные примеры. Испытайте программу на контрольных примерах.

 

1. Значение функции sin²(x) можно вычислить с помощью разложения ее в ряд Маклорена

Вычислите sin²(x) с точностью EPS, т.е. вычисление суммы ряда нужно продолжать до тех пор, пока абсолютная величина очередного члена ряда не станет меньше EPS. Определите количество членов ряда, которое для этого понадобилось.

 

2. Введите два натуральных числа m и n. Проверьте, являются ли данные числа взаимно-простыми.

 

3. Изменяя х от а с шагом h, определите, при каком значении х SIN(x) станет больше COS(x).

 

4. Найдите наименьшее общее кратное натуральных чисел k, m, n.

 

5. Напишите программу сложения двух рациональных дробей. Если полученный результат является сократимой дробью, то сократите эту дробь.

 

6. Найдите корни уравнения е ^х – 10 х = 0 с точностью e методом простой итерации.

 

7. Напишите программу умножения двух рациональных дробей. Если полученный результат является сократимой дробью, то сократите эту дробь.

 

8. Найдите корень уравнения tg (1, 5773 х) – 2, 3041 х = 0 с точностью e методом простой итерации.

 

9. Найдите корень уравнения ln (7, 622 x) – 8, 59 х +10, 5 = 0 с точностью e методом простой итерации.

 

10. Найдите корни уравнения 9, 33sin(6, 977 x) – 7, 25 х = 0 с точностью e методом простой итерации.

 

11. Вычислите и выведите на экран значения функции превосходящие e для х, принимающего значения 1, 2, …. Значение e введите с клавиатуры.

 

12. Введите натуральное число n. Определите количество цифр в этом числе.

 

13. Вычислите значения функции y = sin(ax) для x, изменяющегося от 1 с шагом 1 до тех пор, пока данная функция возрастает. Значение а введите с клавиатуры.

 

14. Уточните корень уравнения е ^х – 10 х = 0 на отрезке [ a, b ] методом половинного деления. Для того, чтобы на отрезке [ a, b ] был корень достаточно, чтобы f (а) и f (b) были разных знаков. В качестве первого приближения х можно взять середину отрезка [ a, b ], а затем в качестве нового отрезка, на котором необходимо искать корень, нужно взять тот из двух отрезков [ a, x ] и [ x, a ], на концах которого функция f (х) принимает значения разных знаков. Итерационный процесс продолжайте, пока длина отрезка и модуль f (х) не станут меньше заданной малой величины EPS.

 

15. Вычислите значение числа p с заданной точностью, используя формулу Выведите количество слагаемых, которое понадобилось для вычислений.

 

16. Вычислите значение числа p с заданной точностью, используя формулу

 

17. Уточните корень уравнения е ^х – 10 х = 0 на отрезке [ a, b ] методом хорд.

 

18. Уточните корень уравнения е ^х – 10 х = 0 на отрезке [ a, b ] методом касательных.

 

19. Уточните корень уравнения е ^х – 10 х = 0 на отрезке [ a, b ] комбинированным методом хорд и касательных.

20. Вычислите значение квадратного корня с точностью EPS с использованием итерационной формулы Ньютона:

Y ₀ = 1

Y_i = 1/2 (Y_{i -1} + X / Y_{i -1}) (i = 1, 2, 3,...).

Вычисления производить пока | Y_i – Y_{i -1}| не станет меньше EPS. Определите количество итераций, за которое достигается эта точность.

 

21. Найдите сумму членов ряда S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 +...

Сумму вычислять, пока очередной член ряда не станет меньше ЕРS.

 

22. Вычислите значение кубического корня с точностью EPS с использованием итерационной формулы Ньютона:

Y ₀ = 1

Y_i = 1/3 (2 Y_{i -1} + X / Y ² _{i -1}) (i = 1, 2, 3,...).

Вычисления производить пока | Y_i – Y_{i -1}| не станет меньше EPS. Определите количество итераций, за которое достигается эта точность.

 

23. Алгоритм Евклида нахождения НОД(m, n) основан на следующих свойствах этой величины: пусть m и n – два натуральных числа и пусть m ³ n. Тогда для чисел m, n и r, где r – остаток от деления m на n, выполняется равенство НОД(m, n) = НОД(n, r). Используя алгоритм Евклида, найдите наибольший общий делитель m и n.

 

24. Значение функции LN (1 + X) можно вычислить с помощью разложения ее в ряд Маклорена

LN (1 + X) = X – Х ²/2 + Х ³/3 – Х ⁴/4 +...

Вычислите LN (1 + X) с точностью EPS, т.е., вычисление суммы ряда нужно продолжать до тех пор, пока абсолютная величина очередного члена ряда не станет меньше EPS. Определите количество членов ряда, которое для этого понадобилось.

 

25. Значение функции y(x)=(e^x + e^-x)/2 можно вычислить с помощью разложения ее в ряд Маклорена

.

Вычислите y(x) с точностью EPS, т.е., вычисление суммы ряда нужно продолжать до тех пор, пока абсолютная величина очередного члена ряда не станет меньше EPS. Определите количество членов ряда, которое для этого понадобилось.

 

26. Значение функции y(x)=cos(x) можно вычислить с помощью разложения ее в ряд Маклорена

.

Вычислите y(x) с точностью EPS, т.е., вычисление суммы ряда нужно продолжать до тех пор, пока абсолютная величина очередного члена ряда не станет меньше EPS. Определите количество членов ряда, которое для этого понадобилось.

 

27. Значение функции y(x)=(e^x - e^-x)/2 можно вычислить с помощью разложения ее в ряд Маклорена

.

Вычислите y(x) с точностью EPS, т.е., вычисление суммы ряда нужно продолжать до тех пор, пока абсолютная величина очередного члена ряда не станет меньше EPS. Определите количество членов ряда, которое для этого понадобилось.

 

28. Значение функции y(x)=arctg(x) можно вычислить с помощью разложения ее в ряд Маклорена

.

Вычислите y(x) с точностью EPS, т.е., вычисление суммы ряда нужно продолжать до тех пор, пока абсолютная величина очередного члена ряда не станет меньше EPS. Определите количество членов ряда, которое для этого понадобилось.

 

29. Значение функции y(x)=2(coc²(x)-1) можно вычислить с помощью разложения ее в ряд Маклорена

.

Вычислите y(x) с точностью EPS, т.е., вычисление суммы ряда нужно продолжать до тех пор, пока абсолютная величина очередного члена ряда не станет меньше EPS. Определите количество членов ряда, которое для этого понадобилось.

 

30. Значение функции y(x)=sin(x)/x можно вычислить с помощью разложения ее в ряд Маклорена

.

Вычислите y(x) с точностью EPS, т.е., вычисление суммы ряда нужно продолжать до тех пор, пока абсолютная величина очередного члена ряда не станет меньше EPS. Определите количество членов ряда, которое для этого понадобилось.

 

31. Значение функции можно вычислить с помощью разложения ее в ряд Маклорена

.

Вычислите y(x) с точностью EPS, т.е., вычисление суммы ряда нужно продолжать до тех пор, пока абсолютная величина очередного члена ряда не станет меньше EPS. Определите количество членов ряда, которое для этого понадобилось.

Даны два натуральных числа m и n (1 < m < n). Найдите наименьшее k, при котором m^k > n.

 

32. Генерируйте случайные числа из отрезка [1; 10] и находите их сумму пока модуль разности между последовательными двумя числами больше 1.

 

33. Найдите приближенно с точностью до 0, 01 наибольшее значение функции на отрезке [ x ₁; x ₂]. Значения a, b, c, d, e, x ₁, x ₂ введите с клавиатуры.

 

34. Дано целое число m > 10. Получите наибольшее целое k, при котором 4 ^k < m.

 

35. Дано натуральное число n. Получите наименьшее натуральное число вида m ², превосходящее n.

 

36. Вычислите значение корня n-ой степени с точностью EPS с использованием итерационной формулы Ньютона:

Y ₀ = 1

Y_i = 1/n ((n-1)Y_{i -1} + X / Y ^n-1_i-1) (i = 1, 2, 3,...).

Вычисления производить пока | Y_i – Y_{i -1}| не станет меньше EPS. Определите количество итераций, за которое достигается эта точность.