Метод хорд. Пусть f(a)f(b) < 0. Проведем через точки M(a, f(a)) и N(b, f(b)) прямую линию (хорду), уравнение которой записывается в следующем виде (уравнение прямой

Пусть f(a)f(b) < 0. Проведем через точки M(a, f(a)) и N(b, f(b)) прямую линию (хорду), уравнение которой записывается в следующем виде (уравнение прямой, проходящей через две заданные точки):

Найдем точку пересечения хорды с осью абсцисс:

(3.1)

За первое приближение корня уравнения примем х ₁. Второе приближение вычисляется по формуле (3.1) относительно того из отрезков [ a; x ₁] и [ x ₁; b ], на концах которого функция f(x) принимает значения разных знаков. Аналогично вычисляются и следующие приближения.

Кроме того, предположим, что вторая производная на интервале (a; b) сохраняет знак. Тогда на (a; b) график функции y = f(x) выпуклый, если , и лежит выше любой своей хорды. В этом случае точка пересечения хорды находится между корнем уравнения f(x) = 0 и тем концом отрезка [ a; b ], в котором значение функции f(x) положительно. Если же то график функции y = f(x) на интервале (a; b) вогнутый и лежит ниже любой своей хорды. В этом случае точка пересечения хорды находится между корнем уравнения f(x) = 0 и тем концом отрезка [ a; b ], в котором значение функции f(x) отрицательно. Следовательно, во всех случаях приближенное значение корня лежит между точным его значением и тем концом отрезка [ a; b ], в котором знаки f(x) и противоположны.

Поэтому, если известно (n – 1 ) -е приближение корня, то его n -е приближение можно вычислить по формуле

для случая

или по формуле

для случая

На практике вычисление приближенных значений продолжают до тех пор, пока два последовательных приближения x_n и x_{n- 1} не будут удовлетворять условию |x_n – x_{n- 1}| < e. Но из выполнения этого условия не следует, что |x^* - x_n | < e, где х^* - искомый корень уравнения.

Более надежным практическим критерием окончания счета является выполнение неравенства

 

Метод касательных (Ньютона)

Пусть f(a)f(b)< 0 и сохраняет знак на интервале (a; b). Проведем касательную к графику функции y = f(x) в том конце отрезка [ a; b ], в котором знаки f(х) и совпадают. Уравнение касательной имеет вид:

если

если

Найдем точку пересечения касательной с осью абсцисс. Полагая у = 0, находим

если

если

Полученное таким образом х ₁ примем за приближенное значение корня. Последующие приближения вычисляются по формуле:

Вычисления повторяют до тех пор, пока не выполнится одно из условий

или