ЗАДАЧА О МАКСИМАЛЬНОЙ РЕНТАБЕЛЬНОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ

Как использовать запасы сырья, которые имеются на предприятии, для изготовления той или иной продукции, чтобы доход предприятия был наибольший?

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ

Для простоты ограничимся двумя видами продукции и тремя видами ресурсов, хотя характер задачи не изменится от количества сырья и видов продукции.

Пусть на выпуск двух видов продукции П₁, П₂ тратится три вида сырья А₁, А₂, А₃. Известно: затраты а_ij сырья i -го вида на единицу продукции j -го вида; объем b_i сырья i -го вида; величина прибыли c_j от реализации единицы продукции j -го вида. Необходимо так организовать выпуск продукции из наличия объема ресурсов, чтобы получить максимальную прибыль. Данные задачи заносятся в таблицу:

 

виды сырья	виды продукции	запасы сырья
П1	П2
А1	a11	a12	b1
А2	a21	a22	b2
А3	a31	a32	b3
прибыль от единицы продукции	c1	c2

 

За неизвестные целесообразно выбрать выпуск продукции, через него выписать фактические затраты сырья и сравнить их с наличием запасов. Обозначим x₁ и x₂ – количество выпущенной продукции П₁ и П₂. Например, фактические затраты сырья А₁: a₁₁x₁+a₁₂x₂, где a_ij – затраты на единицу выпуска продукции П_j, x_j – план ее выпуска (j= 1, 2). Поскольку затраты не могут превышать запасов ресурса А₁, то должно выполняться неравенство

.

Аналогично следует записать два других неравенства, в результате чего получим систему неравенств:

Последние два неравенства отражают физические ограничения, что планы выпуска неразделимы. Прибыль, которая обозначена через z, выражается целевой функцией

и необходимо отыскать такие значения x₁, x₂, при которых прибыль будет максимальной. Таким образом, задана математическая модель задачи.

Пример 1. Предприятие выпускает продукцию двух типов: П₁ и П₂. Виды сырья, его запасы, нормы затрат сырья на условную единицу продукции каждого типа даны в таблице:

виды сырья	запасы сырья	Нормы затрат сырья на единицу продукции каждого типа
П1	П2
I	25	1	5
II	9	1	1
III	21	3	1

Доход производства от реализации условной единицы продукции типа П₁ ровняется 10 грн., а типа П₂ – 20 грн.

Как необходимо спланировать выпуск продукции, чтобы доход предприятия был наибольший?

Решение. Количество продукции П₁ обозначим x₁, а количество продукции П₂ – через x₂. Тогда, используя данные таблицы, составим систему ограничений:

Учитывая цель производства продукции П₁ и П₂, составим целевую функцию, которая имеет вид:

.

Математическая модель задачи:

определить такие значения x₁, x₂, при которых функция имеет максимальное значение, при условии, что x₁, x₂ удовлетворяют неравенствам:

Эту задачу можно решить графическим методом.

Несложные задачи линейного программирования можно решить, действуя таким образом:

Пример 2. Необходимо составить план выпуска двух видов изделий на четырех участках цеха, чтобы иметь максимальную прибыль от реализации этих изделий. При этом надо учитывать такие ограничения: время работы на 1-ом участке не превышает 16 час., на 2-ом участке – 30 час., на 3-м – 16 час, и на 4-м – 12 час.

В таблице указано время (в часах), необходимое для изготовления каждого из двух видов изделий на каждом участке. Нуль означает, что изделие на этом участке не изготовляется.

изделия	участки
I	4	3	0	2
II	2	6	4	0
возможное время работы участка в часах	16	30	16	12

Цеху насчитывают прибыль: 3 гривны от реализации одного изделия I вида и 4 гривны от реализации одного изделия II вида.

Решение. Обозначим через x₁ число изделий I вида, а через x₂ – число изделий II вида.

На 1-ом участке затрачивают 4 x₁ час. на изготовление изделия I вида и 2 x₂ час. на изготовление изделия II вида, т.е. всего час. Поскольку время работы на 1-ом участке не превышает 16 час., то .

На 2-ом участке затрачивают 3 x₁ час. на изготовление изделия I вида и 6 x₂ час. на изготовление изделия II вида, но, в общем, не более 30 час., т.е. .

На 3-ом участке затрачивают 0 час. на изготовление изделия I вида и 4 x₂ час. на изготовление изделия II вида, т.е. .

На 4-ом участке затрачивают 2 x₁ час. на изготовление изделия I вида и 0 час. на изготовление изделия II вида, но, т.е. .

От реализации x₁ изделий I вида цеху начислено 3 x₁ гривны прибыли и от реализации x₂ изделий II вида – 4 x₂ гривны прибыли. Общая прибыль цеха составит 3 x₁ +4 x₂ (гривны), где .

Математическая модель задачи описывается системой линейных неравенств:

Из множества решений этой системы неравенств нужно найти наибольшее значение линейной функции . Построив прямые получим замкнутый многоугольник OABCD.

Математическая задача свелась к нахождению максимального значения функции в замкнутом многоугольнике. В середине этого многоугольника функция максимума не достигает, т.к. и . Поэтому она имеет наибольшее значение на границе этого многоугольника, причем в вершинах, т.к. на каждой его стороне она является монотонной. Вычисляем координаты многоугольника:

Подставив координаты вершины в выражение линейной формы, получим:

В точке B(6; 2) линейная форма достигает максимума:

Таким образом, наибольшая прибыль от реализации двух видов изделий составляет 26 грн. Это можно достигнуть, когда цех изготовит шесть изделий I вида и два изделия II вида.

Пример 3. Найти наибольшее значение линейной формы при условиях

Решение. Учитывая, что и , строим прямые и только в первой четверти. Множество точек, координаты которых удовлетворяют данной системе неравенств, есть выпуклый многоугольник OAED (многоугольник решений). Координаты вершин A, E и D многоугольника определим, решив систему неравенств:

Среди множества этих точек нужно найти такие точки, в которых функция принимает наибольшее значение. Наибольшее значение z будет в одной из вершин многоугольника. Находим значение функции в вершинах многоугольника:

Таким образом, при x₁ =2, x₂ =3 функции достигает наибольшего значения z_max =7.