ЗАДАЧА О СОСТАВЛЕНИИ МЕЖОТРАСЛЕВОГО БАЛАНСА

В материальном производстве народного хозяйства участвуют n отраслей. Нормы затрат на единицу продукции j -ой отрасли, которые идут как способы производства i -ой отрасли, обозначим через a_ij (i, j=1, 2, …, n). Составить план работы отраслей, который обеспечивает функционирование народного хозяйства на уровне конечной продукции . Дать анализ полных материальных затрат на единицу продукции j -ой отрасли, которые учитываю и непрямые затраты, сделанные на разных стадиях производства (расчет выполнить с помощью матрицы , где ).

Обозначим полные затраты труда j -ой отрасли на единицу продукции через T_j, непосредственные затраты в i -ой отрасли t_i. Определить необходимые затраты труда для нормальной работы народного хозяйства.

Обозначим x_j – валовый выпуск продукции j -ой отрасли, тогда a_ijx_j – затраты i -ой отрасли, которые используются на выпуск продукции j -ой отрасли. Отсюда - все затраты i -ой отрасли, которые используются в сфере материального производства. Таким образом, валовый выпуск, например, первой отрасли

Отсюда для расчетов валовых выпусков получаем систему уравнений:

Следует отметить, что полученная система уравнений данной задачи допускает только положительные решения. Достаточные условия существования таких решений через собственные числа матрицы можно записать так: .

Для построения модели трудовых затрат используем таблицу:

Очевидно, что числа a_ijT_i выражают затраты труда, перенесенные на j -ый продукт через способы производства i -ой отрасли. Отсюда получим для расчетов систему алгебраических уравнений:

Все трудовые затраты народного хозяйства определяются как сумма затрат отраслей:

T=T₁+T₂+...+T_n.

В векторно-матричной форме системы уравнений запишутся следующим образом:

(E-A)x=y, (E-A)T=t.

Отсюда, зная матрицу полных материальных затрат , легко вычислить векторы валовых выпусков (x₁,..., x_n) или полной трудоемкости (T₁, T₂,..., T_n).