Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных

Рис. 74. Схематическое представление различных корреляционных зависи­мостей с соответствующими значениями коэффициента линейной корреля­ции (цит. по: Шерла К. Факторный анализ. М, 1980).

______ Часть II. Введение в научное психологическое исследование ___

Наконец, фрагмент Е дает коэффициент корреляции, равный или близкий к 0, так как в данном случае связь между перемен­ными хотя и существует, но не является линейной.

Коэффициент линейной корреляции определяется при по­мощи следующей формулы:

где г — коэффициент линейной корреляции;

х, у — средние выборочные значения сравниваемых величин; х., у — частные выборочные значения сравниваемых величин; п — общее число величин в сравниваемых рядах показателей;

si' S_y ~ дисперсии, отклонения сравниваемых величин от

средних значений.

Пример. Определим коэффициент линейной корреляции между следующими двумя рядами показателей. Ряд 1: 2, 4, 4, 5, 3, 6, 8. Ряд II: 2, 5, 4, 6, 2, 5, 7. Средние значения этих двух рядов соответственно равны 4, 6 и 4, 4. Их дисперсии составляют следую­щие величины: 3, 4 и 3, 1. Подставив эти данные в приведенную выше формулу коэффициента линейной корреляции, получим следующий результат: 0, 92. Следовательно, между рядами дан­ных существует значимая связь, причем довольно явно выражен­ная, так как коэффициент корреляции близок к единице. Дейст­вительно, взглянув на эти ряды цифр, мы обнаруживаем, что большей цифре в одном ряду соответствует большая цифра в дру­гом ряду и, наоборот, меньшей цифре в одном ряду соответству­ет примерно такая же малая цифра в другом ряду.

К коэффициенту ранговой корреляции в психолого-педаго­гических исследованиях обращаются в том случае, когда при­знаки, между которыми устанавливается зависимость, являют­ся качественно различными и не могут быть достаточно точно оценены при помощи так называемой интервальной измеритель­ной шкалы. Интервальной называют такую шкалу, которая по­зволяет оценивать расстояния между ее значениями и судить о

______ Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных ___

том, какое из них больше и насколько больше другого. Напри­мер, линейка, с помощью которой оцениваются и сравниваются длины объектов, является интервальной шкалой, так как, поль­зуясь ею, мы можем утверждать, что расстояние между двумя и шестью сантиметрами в два раза больше, чем расстояние между шестью и восемью сантиметрами. Если же, пользуясь некоторым измерительным инструментом, мы можем только утверждать, что одни показатели больше других, но не в состоянии сказать на сколько, то такой измерительный инструмент называется не ин­тервальным, а порядковым.

Большинство показателей, которые получают в психолого-педагогических исследованиях, относятся к порядковым, а не к интервальным шкалам (например, оценки типа «да», «нет», «ско­рее нет, чем да» и другие, которые можно переводить в баллы), поэтому коэффициент линейной корреляции к ним неприменим. В этом случае обращаются к использованию коэффициента ран­говой корреляции, формула которого следующая:

где R_s — коэффициент ранговой корреляции по Спирмену;

d_i — разница между рангами показателей одних и тех же ис­пытуемых в упорядоченных рядах;

п — число испытуемых или цифровых данных (рангов) в кор­релируемых рядах.

Пример. Допустим, что педагога-экспериментатора интере­сует, влияет ли интерес учащихся к учебному предмету на их успеваемость. Предположим, что с помощью некоторой психо­диагностической методики удалось измерить величину интере­са к учению и выразить его для десяти учащихся в следующих цифрах: 5, 6, 7, 8, 2, 4, 8, 7, 2, 9. Допустим также, что при помощи другой методики были определены средние оценки этих же уча­щихся по данному предмету, оказавшиеся соответственно рав­ными: 3, 2; 4, 0; 4, 1; 4, 2; 2, 5; 5, 0; 3, 0; 4, 8; 4, 6; 2, 4.

Упорядочим оба ряда оценок по величине цифр и припишем каждому из учащихся по два ранга; один из них указывает на то,

19* 579

______ Часть II. Введение в научное психологическое исследование ____

какое место среди остальных данных ученик занимает по успе­ваемости, а другой — на то, какое место среди них же он занима­ет по интересу к учебному предмету. Ниже приведены ряды цифр, два из которых (первый и третий) представляют исходные данные, а два других (второй и четвертый) — соответствующие ранги¹:

 

2-1, 5	2, 4-1
2-1, 5	2, 5-2
4-3	3, 0-3
5-4	3, 2 - 4
6-5	4, 0-5
7-6, 5	4, 1-6
7-6, 5	4, 2-7
8-8, 5	4, 6-8
9-10	5, 0 - 10

Определив сумму квадратов различий в рангах (^df) и под­ставив нужное значение в числитель формулы, получаем, что ко­эффициент ранговой корреляции равен 0, 97, т.е. достаточно вы­сок, что и говорит о том, что между интересом к учебному пред­мету и успеваемостью учащихся действительно существует ста­тистически достоверная зависимость.

Однако по абсолютным значениям коэффициентов корреля­ции не всегда можно делать однозначные выводы о том, являют­ся ли они значимыми, т.е. достоверно свидетельствуют о суще­ствовании зависимости между сравниваемыми переменными. Может случиться так, что коэффициент корреляции, равный 0, 50, не будет достоверным, а коэффициент корреляции, составивший 0, 30, — достоверным. Многое в решении этого вопроса зависит от того, сколько показателей было в коррелируемых друг с дру­гом рядах признаков: чем больше таких показателей, тем мень­шим по величине может быть статистически достоверный коэф­фициент корреляции.

В табл. 35 представлены критические значения коэффици­ентов корреляции для различных степеней свободы. (В данном

¹ Если исходные данные, которые ранжируются, одинаковы, то и их ранги также будут одинаковыми. Они получаются путем суммирования и деления пополам тех рангов, которые соответствуют этим данным.

Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных ___

Таблица 35 Критические значения коэффициентов корреляции для различных степеней свободы (и - 2) и разных вероятностей допустимых ошибок

 

 

Число
степеней свободы	Уровень значимости	[
0, 05	0, 01	0, 001
	0, 9500	0, 9900	0, 9900
	0, 7545	0, 8745	0, 9509
	0, 5760	0, 7079	0, 8233
И
	0, 4821	0, 6055	0, 7247
	0, 4227	0, 5368	0, 6524
	0, 3809	0, 4869	0, 5974
28,
	0, 3494	0, 4487	0, 5541
	0, 3338	0, 4297	0, 5322
	0, 3246	0, 4182	0, 5189
	0, 3044	0, 3932	0, 4896

Часть II. Введение в научное психологическое исследование

случае степенью свободы будет число, равное и — 2, где п — ко­личество данных в коррелируемых рядах.) Заметим, что значи­мость коэффициента корреляции зависит и от заданного уров­ня значимости или принятой вероятности допустимой ошибки в расчетах. Если, к примеру, коррелируется друг с другом два ря­да цифр по 10 единиц в каждом и получен коэффициент корре­ляции между ними, равный 0, 65, то он будет значимым на уров­не 0, 95 (он больше критического табличного значения, состав­ляющего 0, 6319 для вероятности допустимой ошибки 0, 05, и меньше критического значения 0, 7646 для вероятности допусти­мой ошибки 0, 01).

Метод множественных корреляций в отличие от метода пар­ных корреляций позволяет выявить общую структуру корреля­ционных зависимостей, существующих внутри многомерного экспериментального материала, включающего более двух пере­менных, и представить эти корреляционные зависимости в виде некоторой системы.

Один из наиболее распространенных вариантов этого мето­да — факторный анализ — позволяет определить совокупность внутренних взаимосвязей, возможных причинно-следственных связей, существующих в экспериментальном материале. В ре­зультате факторного анализа обнаруживаются так называемые факторы — причины, объясняющие множество частных (пар­ных) корреляционных зависимостей.

Фактор — математико-статистическое понятие. Будучи пере­веденным на язык психологии (эта процедура называется содер­жательной или психологической интерпретацией факторов), он становится психологическим понятием. Например, в известном 16-факторном личностном тесте Р. Кеттела, который подробно рас­сматривался в первой части книги, каждый фактор взаимно одно­значно связан с определенными чертами личности человека.

С помощью выявленных факторов объясняют взаимозави-. симость психологических явлений. Поясним сказанное на при­мере. Допустим, что в некотором психолого-педагогическом экс­перименте изучалось взаимовлияние таких переменных, как ха­рактер, способности, потребности и успеваемость учащихся. Предположим далее, что, оценив каждую из этих переменных у

Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных

достаточно представительной выборки испытуемых и подсчитав коэффициенты парных корреляций между всевозможными па­рами данных переменных, мы получили следующую матрицу ин­теркорреляций (в ней справа и сверху цифрами обозначены в пе­речисленном выше порядке изученные в эксперименте перемен­ные, а внутри самого квадрата показаны их корреляции друг с другом; поскольку всевозможных пар в данном случае меньше, чем клеток в матрице, то заполнена только верхняя часть матри­цы, расположенная выше ее главной диагонали).

Анализ корреляционной матрицы показывает, что пе­ременная 1 (характер) значи­мо коррелирует с переменны­ми 2 и 3 (способности и по­требности). Переменная 2 (способности) достоверно коррелирует с переменной 3 (потребности), а переменная 3 (потребности) — с перемен­ной 4 (успеваемость). Факти­чески из шести имеющихся в матрице коэффициентов корреля­ции четыре являются достаточно высокими и, если предполо­жить, что они определялись на совокупности испытуемых, пре­вышающей 10 человек, — значимыми.

Зададим некоторое правило умножения столбцов цифр на стро­ки матрицы: каждая цифра столбца последовательно умножается на каждую цифру строки и результаты парных произведений за­писываются в строку аналогичной матрицы. Пример: если по это­му правилу умножить друг на друга три цифры столбца и строки, представленные в левой части матричного равенства, то получим матрицу, находящуюся в правой части этого же равенства:

Часть II. Введение в научное психологическое исследование

Задача факторного анализа по отношению к только что рас­смотренной является как бы противоположной. Она сводится к тому, чтобы по уже имеющейся матрице парных корреляций, ана­логичной представленной в правой части показанного выше мат­ричного равенства, отыскать одинаковые по включенным в них цифрам столбец и строку, умножение которых друг на друга по заданному правилу порождает корреляционную матрицу. Иллю­страция:

Здесь x_v х_у х₃ и х_А — искомые числа. Для их точного и быст­рого определения существуют специальные математические про­цедуры и программы для ЭВМ.

Допустим, что мы уже нашли эти цифры: х_х = 0, 45, х₂= 0, 36 х₃ - 1, 12, х₄ = 0, 67. Совокупность найденных цифр и называется фактором, а сами эти цифры — факторными весами или нагруз­ками.

Эти цифры соответствуют тем психологическим переменным, между которыми вычислялись парные корреляции. х_х — харак­тер, х₂ — способности, х₃ — потребности, х₄ — успеваемость. По­скольку наблюдаемые в эксперименте корреляции между пере­менными можно рассматривать как следствие влияния на них общих причин — факторов, а факторы интерпретируются в пси­хологических терминах, мы можем теперь от факторов перейти к содержательной психологической интерпретации обнаружен­ных статистических закономерностей. Фактор содержит в себе ту же самую информацию, что и вся корреляционная матрица, а факторные нагрузки соответствуют коэффициентам корреляции. В нашем примере х₃ (потребности) имеет наибольшую фактор­ную нагрузку (1, 12), а х, (способности) — наименьшую (0, 36).

Глава 3. Статистический анализ экспериментальных данных

Следовательно, наиболее значимой причиной, влияющей на все остальные психологические переменные, в нашем случае явля­ются потребности, а наименее значимой — способности. Из кор­реляционной матрицы видно, что связи переменной х₃ со всеми остальными являются наиболее сильными (от 0, 40 до 0, 75), а кор­реляции переменной х₂ — самыми слабыми (от 0, 16 до 0, 40).

Чаще всего в итоге факторного анализа определяется не один, а несколько факторов, по-разному объясняющих матрицу интер­корреляций переменных. В таком случае факторы делят на ге­неральные, общие и единичные. Генеральными называются фак­торы, все факторные нагрузки которых значительно отличают­ся от нуля (нуль нагрузки свидетельствует о том, что данная пе­ременная никак не связана с остальными и не оказывает на них никакого влияния в жизни). Общие — это факторы, у которых часть факторных нагрузок отлична от нуля. Единичные — это факторы, в которых существенно отличается от нуля только одна из нагрузок. На рис. 75 схематически представлена структура факторного отображения переменных в факторах различной сте­пени общности.

Рис. 75. Структура факторного отображения взаимосвязей переменных.

Отрезки, соединяющие факторы с переменными, указывают на высокие

факторные нагрузки

Часть II. Введение в научное психологическое исследование