Рішення задачі оптимізації закупівель графічним методом

Графічний метод може бути застосований лише для оптимізаційних задач із кількістю КЗ не більше двох. Рішення задач із кількістю КЗ більше двох вкрай ускладнене і може забезпечити знаходження не оптимального, а певного субоптимального рішення по двом КЗ. На сьогоднішній час графічний метод рішення оптимізаційних задач втратив свою актуальність, через широке розповсюдження комп’ютерної техніки. Тим не менш він дозволяє зрозуміти основні поняття і принципи ЛП та лежить в основі більш складних аналітичних методів рішення цих задач, наприклад симплекс-методу. Тому вивчення методів рішення оптимізаційних задач ЛП доцільно розпочинати саме з нього. Оскільки дана оптимізаційна задача містить лише дві керовані змінні, вона може бути вирішена графічним методом.

Для цього в координатах та накреслимо прямі (рис. 4.1), що задаються рівняннями, які відповідають обмеженням по максимально можливим об’ємам реалізації продукції A, B, C, D, E:

 

(4.9)

 

 

Рис. 4.1 – Обмеження та область допустимих значень КЗ оптимізаційної задачі

 

Отримані прямі будуть окреслювати напівплощини, що відповідають обмеженням (4.2)-(4.6), причому напівплощини включають самі лінії, оскільки в нерівностях використані знаки «≤».

Також потрібно зважати на те, що обмеження невід’ємності КЗ (4.7) графічно відображені у вигляді висей координат: – вісь абсцис; – вісь ординат.

В результаті отримаємо багатокутник (рис. 4.1), який обмежує область допустимих значень КЗ нашої оптимізаційної задачі. Причому багатокутник включає лінії (4.9) та вісі координат, оскільки усі нерівності у нас не суворі. КЗ можуть приймати будь які значення із області допустимих значень, однак екстремальне значення ЦФ буде досягатися в одній із вершин багатокутника. Позначимо вершини багатокутника римськими цифрами I, II, III, IV, V, VI та графічно знайдемо координати цих точок. Очевидно, в точці I буде досягатись мінімум ЦФ. Для інших вершин багатокутника визначимо значення ЦФ, шляхом підстановки в неї значень координат точок II, III, IV, V, VI:

 

(4.10)

 

(4.11)

 

(4.12)

 

(4.13)

 

(4.14)

 

Як бачимо, максимальне значення ЦФ досягається у точці ІІІ із координатами (2, 22; 11, 22). Отже оптимальні за прибутком квартальні закупівлі сировини у 1-го постачальника будуть складати т, а у другого – т. При таких об’ємах закупівель сировини прибуток буде максимальним для заданих обмежень, та складатиме 75, 7 тис. грн. на квартал.

Точка ІІІ безпосередньо визначається обмеженнями по максимальній реалізації продукції В та С, отже обмеження (4.3) та (4.4) будуть зв’язуючими. Економічний сенс зв’язаності обмежень буде тут полягати в повному використанні потенціалу по реалізації продукції В та С підприємством:

 

(4.15)

(4.16)

 

Для подальшого збільшення значення ЦФ, тобто прибутку підприємства, доцільно збільшувати маркетинговими засобами попит на продукцію В та С аж поки обмеження по іншим видам продукції не стануть зв’язуючими.

Інші обмеження будуть не зв’язуючими, оскільки прямі, що їм відповідають безпосередньо не визначають точку оптимуму. Економічним сенсом незв’язаності обмежені в умовах нашої задачі буде частково не використаний потенціал ринку по реалізації продукції A, D, E.

Розглянемо це на прикладі продукції виду А. Ліва частина обмеження (4.2) показує кількість виробленої продукції при реалізації оптимальної програми закупівель:

 

(4.17)

 

В той же час права частина показує максимальні можливості по реалізації продукції та становить 2, 1 т. Отже не використаний потенціал по реалізації продукції А становить 0, 87 т. Аналогічні розрахунки можна провести і по іншим видам продукції.

Незв’язуюче обмеження (4.6) по максимальній реалізації продукції Е буде називатися надлишковим, оскільки воно безпосередньо не визначає області допустимих значень КЗ.

Для повноти рішення задачі ЛП графічним методом зобразимо графік ЦФ, що проходить через точку ІІІ оптимального рішення (рис. 4.2).

Визначати розташування лінії ЦФ на площині буде додаткова точка координати якої знайдемо за формулою:

 

(4.18)

 

Наприклад це може бути точка із координатами (0; 13, 17) (рис. 4.2).

В результаті проведеної роботи графічним методом знайдено оптимальний по прибутку план закупівель сировини підприємством у двох постачальників. Однак коло оптимізаційних задач, що може бути вирішено графічним методом, обмежене задачами із кількістю КЗ не більше двох.

Рис. 4.2 – Результат рішення задачі ЛП графічним методом

 

Також в наш час графічний метод втратив свою актуальність через наявність значної кількості комп’ютерних програм для рішення оптимізаційних задач.