Лабораторная работа № 9. Алгоритмы вычисления интегралов и решения уравнений
В инженерной практике широко используются численные методы решения задач. Рассмотрим способы использования циклических алгоритмов для вычисления определенных интегралов и решения уравнений.
| Задание
| Краткие теоретические сведения
| | 1. В соответствии с вариантом написать программу для вычисления определенного интеграла из таблицы, приведенной в конце работы, методом трапеций. Для всех вариантов принять n = 200.
| Приближенное вычисление определенного интеграла основано на геометрическом смысле интеграла и сводится к приближенному вычислению площади, ограниченной графиком подынтегральной функции f(x), прямыми x = a = x0, x = b = xn и осью OX. Интервал [a, b] делится на n равных частей длиной h = (b - a) / n. Тогда значениям xi = x i - 1 + h, i = 1, 2,..., n соответствуют значения yi = f(xi).
Согласно методу трапеций значение интеграла вычисляется как сумма площадей трапеций, высоты которых равны h, а основания соответственно y 0 и y 1 – для первой трапеции, y 1 и y 2 – для второй и т. д.
Алгоритм вычисления интеграла по методу трапеций.
1. Ввод a, b, n.
2. Вычисление h = (b - a) / n, x = a, s = 0.
3. Расчет s = s + h × (f(x) + f(x + h)) / 2, x = x + h.
4. Если x > (b – h), то переход к пункту 5, иначе – переход к пункту 3.
5. Вывод z.
| | 2. Написать программу для вычисления определенного интеграла методом парабол.
| При использовании метода парабол интервал [ a, b ] делится на четное количество частей – 2 n. Тогда h = (b - a) / ( 2 × n), xi = xi– 1 + h, i = 1, 2, …, 2 n.
Алгоритм метода парабол
1. Ввод a, b, n.
2. Вычисление h = (b - a) / ( 2 × n), x = a + 2 h, s 1= 0, s 2 = 0, i = 1.
3. Расчет s 2 = s 2 + f (x), x = x + h, s 1 = s 1 + f (x), x = x + h, i = i + 1.
4. Если i < n – 1, то переход к пункту 3, иначе – переход к следующему пункту.
5. Вычисление значения интеграла:
6. Вывод z.
Здесь s 1 = y 3 + y 5 + … + y 2n - 1, а s 2 = y 2 + y 4 + … + y 2n - 2.
| | 3. Используя приложение Excel отделить корни уравнения f (x) = 0, где f (x) берется из той же таблицы.
Для одного из отделенных отрезков написать программу вычисления корня методом касательных. Точность вычислений принять равной e = 0, 0001 для всех вариантов.
| Решение уравнения численными методами состоит из двух этапов: отделение корней, т. е. нахождение таких отрезков [ a, b ] на оси OX, внутри которых имеется один корень; вычисление корней с заданной точностью.
Отделить корни можно, построив график функции f (x) в приложении Excel. Из тех отрезков, на которых функция пересекает ось ОХ, рассмотрим какой-то один [a, b]. Надо вычислить корень с заданной точностью одним из методов.
При использовании метода касательных для вычисления корня уравнения f (x) = 0 необходимо определить начальное приближение корня x 0: x 0 = a, если знаки f (a) и f ¢ ¢ (a) совпадают, и x 0 = b, если знаки f (b) и f ¢ ¢ (b) совпадают.
Последовательные приближения корня рассчитываются по формуле
xn+ 1 = xn –  , n = 0, 1, 2, …
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет выполнено условие | xn+ 1 – xn | < = e, где e – требуемая точность вычисления корня.
Алгоритм метода касательных
1. Ввод значений a, b, e.
2. Вычисление начального приближения корня x 1 = a, если f (a) f ¢ ¢ (a) > 0 или x 1 = b в противном случае.
3. Вычисление x = x1.
4. Определение очередного приближения корня по формуле x 1 = x – 
5. Если | x 1 – x | > e, то переход к пункту 3, в противном случае – переход к пункту 6.
6. Вывод значения корня x1.
| | 4. Написать программу вычисления корня методом методом дихотомии.
| Согласно методу дихотомии отрезок [ a, b ] делится пополам. Из полученных двух отрезков для дальнейших вычислений выбирается тот, на концах которого функция f (x) имеет разные знаки. Выбранный отрезок вновь делится пополам. Вычисления продолжаются до тех пор, пока величина последнего из полученных отрезков не станет меньше 2 e. Алгоритм метода дихотомии
1. Ввод значений a, b, e.
2. Вычисление x = (a + b)/2.
3. Если f (x) f (a) < = 0, то b = x, иначе – a = x.
4. Если | a – b | > 2 e, то переход к пункту 2, иначе – переход к следующему пункту.
5. Вывод значения корня x.
| | 5. Найти корень в приложении Excel с помощью команды Подбор параметра.
| В приложении Excel для решения уравнения имеется команда Подбор параметра. Чтобы решить с помощью этой команды уравнение 4 – x2+x = 0, надо на рабочем листе, например в ячейке А1, записать начальное приближение корня (например, 2), в ячейке В1 − само уравнение: = 4 – А1^2 + A1
Выполнить Данные / Работа с данными / Анализ “что-если” / Подбор параметра. В появившемся окне задать следующие значения: в поле Установить в ячейке выбрать В1, в поле Значение ввести 0, в поле Изменяя значение ячейки − А1. После нажатия ОK в ячейке А1 будет корень уравнения.
| Таблица с исходными данными
| Номер варианта
| Подынтегральная функция f (x)
| Пределы интегрирования
| Номер варианта
| Подынтегральная функция f (x)
| Пределы интегрирования
| |
| x 3 + x – 3
| a = 1, b = 3
|
| x 3 + 3 x – 1
| a = 3, b = 6
| |
| cos(x) + x – 7
| a = 4, b = 7
|
| x 3 + x – 4
| a = 4, b = 8
| |
| x 3 + 2 x – 1
| a = 1, b = 6
|
| sin(x) + x 3
| a = 1, b = 3
| |
| e x – 3 – 1 / x
| a = 2, b = 3
|
| e x + 2 x 2 – 3
| a = 5, b = 11
| |
| 2 – x 2 + x
| a = 8, b = 12
|
| 2 x + x3 – 7
| a = 8, b = 14
| |
| 5 x – 1 + x 3
| a = 1, b = 5
|
| x 3 + 2 x – 4
| a = 1, b = 4
| |
| e x + x - 4
| a = 5, b = 11
|
| sin(x) + 2 + x
| a = 2, b = 7
| |
| x 3 + x – 2
| a = 0, b = 3
|
| x 2 + 4 x – 2
| a = 0, b = 4
|
В начало практикума
Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...
|
Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...
|
Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...
|
Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...
|
Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...
Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.
Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...
|
Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем
1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...
Условия приобретения статуса индивидуального предпринимателя. В соответствии с п. 1 ст. 23 ГК РФ гражданин вправе заниматься предпринимательской деятельностью без образования юридического лица с момента государственной регистрации в качестве индивидуального предпринимателя. Каковы же условия такой регистрации и...
Седалищно-прямокишечная ямка Седалищно-прямокишечная (анальная) ямка, fossa ischiorectalis (ischioanalis) – это парное углубление в области промежности, находящееся по бокам от конечного отдела прямой кишки и седалищных бугров, заполненное жировой клетчаткой, сосудами, нервами и...
|
|
