Средняя арифметическая, ее свойства

 

Наиболее распространенным видом средних величин является средняя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от характера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда по исходным данным известен знаменатель логической формулы и неизвестен числитель, но его можно найти как сумму значений признака или сумму произведений значений признака на частоту.

Средняя арифметическая простая используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по не сгруппированным данным.

 

(23)

 

Средняя арифметическая взвешенная применяется при расчетах по рядам распределения.

 

(24)

 

Свойства средней арифметической.

1. Произведение средней на объем совокупности равно сумме произведений индивидуальных значений признака на частоту.

2.Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней величины равна 0.

3. Если все частоты f_i умножить или разделить на какое либо число А, то средняя не изменится.

4. Если все варианты x_i умножить или разделить на какое либо число k, то средняя соответственно изменится в k раз.

5. Если все варианты увеличить или уменьшить на число А, то средняя соответственно увеличится или уменьшится на число А.

 

Свойства 4-5 позволяют рассчитывать среднюю арифметическую по интервальным ряда распределения методом моментов. Этот метод применяется для упрощения вычислений.

Метод моментов расчета средней величины

1. Определяется середина интервалов x_i как средина отрезка. При этом ширина открытых интервалов (первого и последнего) считается равной ширине последующего или предыдущего.

2. Преобразуются исходные данные следующим образом:

 

(25)

где x_í – преобразованные данные;

x_i – исходные данные;

А – середина интервала с наибольшей частотой;

k – ширина интервала.

3.Определяется средняя для преобразованных данных по формуле арифметической взвешенной.

(26)

 

4. Возвращаются обратно к исходной средней методом моментов:

 

(27)