Основні положення теми. Розглянемо економетричну модель з двома змінними у загальному вигляді:Розглянемо економетричну модель з двома змінними у загальному вигляді: y = f(x) + u, де у – залежна змінна (результативна ознака), x – незалежна змінна (чинник), u – випадкова складова. Це проста економетрична модель. Одні і ті самі економічні процеси можна описати різними функціями, але за допомогою статистичного аналізу потрібно вибрати одну. Найпростіша форма зв’язку між двома змінними лінійна: y = a0 + a1x, де a0, a1 – невідомі параметри. Можливі і інші форми залежностей між двома змінними. Як правило, нелінійні функції зводять до лінійних шляхом логарифмування або заміни: y = a0ea1x, lny = ln a0 + a1x; y = a0xa1, lny = ln a0 + a1lnx, ln x = z; y = a0 + a1/x, 1/x = z, y = a0 + a1z; y = α (1-r)x, lny = lnα + xln(1-r); y = e a0 + a1x, lny = a0 + a1x; y = 10 a0 + a1x, lgy = a0 + a1x. Нехай ми вибрали якусь із цих залежностей, визначили невідомі параметри і одержали рівняння регресії. Як відомо, що певна частина фактичних спостережень над змінною лежатиме вище або нижче від значень, обчислених згідно з вибраною функцією. А це свідчить про те, що вибрана функція не адекватна реальному процесу взаємозв’язків у економіці. Щоб розв’язати цю задачу, до економетричної моделі вводять стохастичну (випадкову) складову, яка акумулює в собі всі відхилення фактичних спостережень змінної у від обчислених згідно з моделлю: y = a0 + a1x +u. Стохастичну складову u економетричної моделі називають похибкою (залишком, збуренням, відхиленням). Щоб оцінити параметри моделі, потрібно сформувати сукупність спостережень, кожна одиниця якої характеризується відповідними значеннями (х; у). Нехай побудували кореляційне поле точок (х; у), через які можна провести безліч прямих ліній y = a0 + a1x (мал. 1). Вони різняться між собою параметрами a0 і a1. Треба вибрати ту лінію, для якої б відхилення фактичних y від розрахункових ŷ було б найменшим. Принцип методу найменших квадратів полягає в знаходженні таких â 0 і â 1, для яких Σ ui² була б найменшою (ŷ = â 0 + â 1х для розрахункових). S = Σ ui² = Σ (yi - ŷ i) ² = Σ (yi - â 0 - â 1х)² → min.
· · · ·.· · · · · · · · .· · · · · · ·· ·· · · ···
· · · · · ·
Мал. 1.
∂ a0 = -2∑ (yi - â 0 - â 1х) = 0 ∂ S â 0 ∑ хi + â 1∑ хi ² = Σ yi xi ∂ a1 = -2∑ (yi - â 0 - â 1х) xi=0
Є інший спосіб обчислення параметрів
де
1.2. Проста лінійна економетрична модель: побудова і аналіз 1.1.. Побудувати економетричну модель залежності урожайності зернових культур (у), ц/га від рівня внесення мінеральних добрив на 1 га (х), ц д. р. Розрахунки наводимо в таблиці 1. Таблиця 1.1. Вихідні і розрахункові дані для побудови економетричної моделі
Виходячи з методу найменших квадратів, для знаходження невідомих параметрів â 0 , â 1 , запишемо систему нормальних рівнянь:
â 0 ∑ хi + â 1∑ хi ² = Σ yi xi 50, 03â 0 + 105, 872â 1=1276, 921
Поділимо кожне рівняння системи на коефіцієнти при параметрі â 0
â 0 +2, 0012 â 1 = 24, 808 â 0 +2, 1162 â 1 = 25, 5231
Віднімемо від другого рівняння перше і одержимо: 0, 115 â 1 =0, 7151. Звідси â 1=6, 2. Підставимо це значення в перше рівняння останньої системи і знайдемо â 0: â 0= 24, 808 – 2, 0012× 6, 2183=12, 4. Отже економетрична модель має вид (для фактичних значень залежної змінної) Y = 12, 4 + 6, 2 x + u. Оскільки, вільний член моделі â 0 ≠ 0, то урожайність зернових культур не є строго пропорційною до рівня внесення мінеральних добрив, â 1 = 6, 2 показує, що при додатковому внесенні на 1 га 1 ц д. р. мінеральних добрив урожайність збільшиться на 6, 2 ц/га. Еластичність урожайності щодо рівня внесення мінеральних добрив визначається коефіцієнтом еластичності: Е = Значення цього коефіцієнта слід тлумачити так: при збільшенні внесення мінеральних добрив на 1% урожайність зернових культур зросте на 0, 5%. Залишки обчислюються згідно з рівністю: ui = yi – ŷ i.. Оцінка дисперсії залишків подається так:
Для залишків ui можна задати певну функцію закону розподілу, наприклад функцію нормального розподілу. Оцінкою фактичного коефіцієнта кореляції є вибірковий коефіцієнт кореляції, який можна обчислити за формулою:
Вибірковий коефіцієнт кореляції є точковою оцінкою фактичного коефіцієнта кореляції і тому потребує перевірки на суттєвість. Вона базується на критерії Стьюдента за формулою: t= Якщо t › tтабл. , де tтабл. − відповідне табличне значення t розподілу з (n –m) ступенями вільності та рівнем значущості α, то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції між залежною і незалежною змінними моделі. Для нашого прикладу: t= Табличне значення t − критерія для рівня значущості α =0, 05 і n− m=23 ступенів свободи дорівнює 2, 0687. Оскільки t › tтабл. робимо висновок, що коефіцієнт кореляції є значущим і зв’язок між x та y є суттєвим. Для аналізу якості опису існуючої залежності між двома ознаками часто використовують індекс кореляції. Він розраховується за формулою:
Перевірку гіпотези про значущість параметрів економетричної моделі можна виконати згідно з t- критерієм: tj= Обчислене значення t- критерію порівнюється з табличним для вибраного рівня істотності і n-m ступенів свободи. Якщо tфакт> tтабл, то відповідний параметр економетричної моделі є достовірним. Дисперсії параметрів економетричної моделі можна визначити за формулами:
Отже, перевіримо гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі, побудованої на основі вихідних даних, наведених у табл. 1 t1= t0= Нехай число ступенів свободи n-m =25-2=23 і рівень значущості α =0, 05, тоді tтабл=2, 0687. Оскільки t1факт> tтабл , то параметр â 1є значущий, t0факт < tтабл, то параметр â 0 є незначущим. Для подальшого аналізу побудованої економетричної моделі визначимо коефіцієнт детермінації. Він показує, на скільки відсотків варіація результативної ознаки y визначається варіацією чинника х: D = r2× 100% = 0, 652× 100% =42, 25%. Це означає, що варіація урожайності на 42, 25 % пояснюється дією мінеральних добрив і на 57, 75 % впливом інших неврахованих випадкових чинників. Перевірити на значущість коефіцієнт детермінації можна за допомогою F-критерію: Fk-1, n-k= Фактичне значення F-критерію порівнюється з табличним при ступенях свободи k-1 і n-k і при вибраному рівні значущості. Якщо Fфакт > Fтабл, то гіпотеза про значущість коефіцієнт детермінації підтверджується, у противному разі – відхиляється. У нашому випадку: Fk-1, n-k= Табличне значення F-критерію при ступенях свободи 1 і 23 і при рівні значущості 0, 05 (F1, 23(0, 05)) дорівнює 4, 28. Оскільки Fфакт > Fтабл , можна зробити висновок про значущість коефіцієнта детермінації. Перевірити модель на адекватність можна також за допомогою також F-критерію: Fk-1, n-k=
За даними табл. 1 фактичне значення критерія Фішера буде дорівнювати: F1, 23= Оскільки Fфакт > Fтабл , можна зробити висновок, що побудована модель адекватна реальній дійсності. Одним з важливих завдань економетричного моделювання є оцінка прогнозного значення результативної ознаки за умови, що значення чинника задано на перспективу. На основі побудованої економетричної моделі можна отримати точковий прогноз результативної ознаки на перспективу. Нехай xпрогн=3 ц д. р., тоді yпрогн=12, 4 + 6, 2 На основі точкового прогнозу можна побудувати інтервальний прогноз скориставшись формулою: yпрогн ± tтабл Для нашої моделі за даними табл. 1 інтервальний прогноз для залежної змінної буде такий: 31 ± 2, 0687 Отжез імовірністю 1-α =0, 95 можна стверджувати, що при рівні внесення мінеральних добрив в розмірі 3 ц д. р. врожайність зернових культур будеь коливатись в межах від 17, 26 (31 - 13, 74=17, 26) до 44, 74 (31 + 13, 74=44, 74) ц/га. 1.3. Завдання для самостійної роботи На основі статистичних даних про прибуток (Y) фірми та інвестиції (X): 1. побудувати просту лінійну економетричну модель y = a0 + a1x1 + u (y =a0 +a1x1 – за розрахунковими даними), визначивши оцінки параметрів a0, a1, виходячи з методу найменших квадратів; 2. дати економічну інтерпретацію одержаних параметрів; 3. зобразити графічно економетричну модель (за графічними і розрахунковими даними); 4. визначити коефіцієнт еластичності та пояснити його; 5. обчислити показники тісноти зв’язку між результативною ознакою та чинником (коефіцієнт та індекс кореляції), пояснити їх; 6. перевірити суттєвість параметрів моделі та побудувати інтервали довіри для параметрів узагальненої економетричної моделі; 7. визначити коефіцієнт детермінації та перевірити його суттєвість; 8. перевірити отриману модель на адекватність; 9. на основі побудованої економетричної моделі обчислити прогнозне значення результату для заданого прогнозного значення інвестицій: Хпр.=10, 5; 10. результати обчислень оформити в таблиці. Вихідні дані в умовних одиницях для різних варіантів наведено у варіантах 1 – 12. Варіант 1 Варіант 2 Варіант 3
Варіант 4 Варіант 5 Варіант 6
Варіант 7 Варіант 8 Варіант 9
Варіант 10 Варіант 11 Варіант 12
|
у
· · · · · · · · · ·
· · · · · · · · ·
· · · ·
0х
∂ S nâ 0 + â 1∑ хi =Σ yi
), тобто 
= â 0 + â 1 
. 
і 
:
- 
.
)²
і
= 
= 0, 5 %.
= 
=10, 5367, 
=3, 246.
,
= 
, 
= 0, 4797;
= 
, 
=4, 5637;
=0, 6537.
, r − вибірковий коефіцієнт кореляції, n-m− число ступенів вільності.
= 
=4, 1424.
= 
=0, 6516≈ 0, 65.
.
= 
= 
=117, 62, 
= 10, 85;
= 
= 
=0, 00098, 
= 0, 031.
= 
=16, 13;
= 
=0, 35.
: 
.
: 
=16, 827.
.
= 20, 982.
xпрогн= 12, 4 + 6, 2 
.
=31 ± 12, 4692 
