Основні положення теми. Розглянемо економетричну модель з двома змінними у загальному вигляді:

Розглянемо економетричну модель з двома змінними у загальному вигляді:

y = f(x) + u,

де у – залежна змінна (результативна ознака), x – незалежна змінна (чинник), u – випадкова складова. Це проста економетрична модель.

Одні і ті самі економічні процеси можна описати різними функціями, але за допомогою статистичного аналізу потрібно вибрати одну.

Найпростіша форма зв’язку між двома змінними лінійна:

y = a₀ + a₁x,

де a_0, a₁ – невідомі параметри.

Можливі і інші форми залежностей між двома змінними. Як правило, нелінійні функції зводять до лінійних шляхом логарифмування або заміни:

y = a₀e^a1x, lny = ln a₀ + a₁x;

y = a₀x^a1, lny = ln a₀ + a₁lnx, ln x = z;

y = a₀ + a_1/x, 1/x = z, y = a₀ + a₁z;

y = α (1-r)^x, lny = lnα + xln(1-r);

y = e ^{a0 + a1x}, lny = a₀ + a₁x;

y = 10 ^{a0 + a1x}, lgy = a₀ + a₁x.

Нехай ми вибрали якусь із цих залежностей, визначили невідомі параметри і одержали рівняння регресії.

Як відомо, що певна частина фактичних спостережень над змінною лежатиме вище або нижче від значень, обчислених згідно з вибраною функцією. А це свідчить про те, що вибрана функція не адекватна реальному процесу взаємозв’язків у економіці. Щоб розв’язати цю задачу, до економетричної моделі вводять стохастичну (випадкову) складову, яка акумулює в собі всі відхилення фактичних спостережень змінної у від обчислених згідно з моделлю:

y = a₀ + a₁x +u.

Стохастичну складову u економетричної моделі називають похибкою (залишком, збуренням, відхиленням).

Щоб оцінити параметри моделі, потрібно сформувати сукупність спостережень, кожна одиниця якої характеризується відповідними значеннями (х; у).

Нехай побудували кореляційне поле точок (х; у), через які можна провести безліч прямих ліній y = a₀ + a₁x (мал. 1).

Вони різняться між собою параметрами a₀ і a₁. Треба вибрати ту лінію, для якої б відхилення фактичних y від розрахункових ŷ було б найменшим.

Принцип методу найменших квадратів полягає в знаходженні таких â ₀ і â ₁, для яких Σ u_i² була б найменшою (ŷ = â ₀ + â ₁х для розрахункових).

S = Σ u_i² = Σ (y_i - ŷ _i) ² = Σ (y_i - â ₀ - â ₁х)² → min.

у

· · · · · · · · · ·

· · · · · · · · ·

· · · ·.· · · · · · · ·

.· · ·

· · · ·· ·· · · ···

 

· · · · · ·

 

· · · ·

 

0х

Мал. 1.

 

∂ S nâ ₀ + â ₁∑ х_i =Σ y_i

∂ a₀ = -2∑ (y_i - â ₀ - â ₁х) = 0

∂ S â ₀ ∑ х_i + â ₁∑ х_i ² = Σ y_i x_i

∂ a₁ = -2∑ (y_i - â ₀ - â ₁х) x_i=0

 

Оцінки параметрів â ₀ і â ₁ за методом найменших квадратів такі, що модель обов’язково проходить через точку (), тобто = â ₀ + â _{1 .}

Є інший спосіб обчислення параметрів і :

 

де знаходиться з рівняння:

= - .

1.2. Проста лінійна економетрична модель: побудова і аналіз

1.1.. Побудувати економетричну модель залежності урожайності зернових культур (у), ц/га від рівня внесення мінеральних добрив на 1 га (х), ц д. р. Розрахунки наводимо в таблиці 1.

Таблиця 1.1. Вихідні і розрахункові дані для побудови економетричної моделі

 

№	хі	уі	хі²	уі²	хіуі	yiхі2	уі -	(хі - )²	і	ui	ui²	(уі - )²
	1, 83	25, 2	3, 3489	635, 04	46, 116	84, 392	0, 392	0, 029	23, 746	1, 454	2, 114	0, 154	1, 128
	2, 44	19, 7	5, 9536	388, 09	48, 068	117, 286	-5, 108	0, 193	27, 528	-7, 828	61, 278	26, 092	7, 398
	2, 37	24, 7	5, 6169	610, 09	58, 539	138, 737	-0, 108	0, 136	27, 094	-2, 394	5, 731	0, 012	5, 226
	1, 06	18, 6	1, 1236	345, 96	19, 716	20, 899	-6, 208	0, 886	18, 972	-0, 372	0, 138	38, 539	34, 059
	2, 07	25, 1	4, 2849	630, 01	51, 957	107, 551	0, 292	0, 005	25, 234	-0, 134	0, 018	0, 085	0, 181
	1, 66	21, 1	2, 7556	445, 21	35, 026	58, 143	-3, 708	0, 116	22, 692	-1, 592	2, 534	13, 749	4, 477
	2, 39	28, 3	5, 7121	800, 89	67, 637	161, 652	3, 492	0, 151	27, 218	1, 082	1, 171	12, 194	5, 808
	1, 01	18, 2	1, 0201	331, 24	18, 382	18, 566	-6, 608	0, 982	18, 662	-0, 462	0, 213	43, 666	37, 773
	2, 47		6, 1009		79, 04	195, 229	7, 192	0, 220	27, 714	4, 286	18, 370	51, 725	8, 445
	1, 6	30, 1	2, 56	906, 01	48, 16	77, 056	5, 292	0, 161	22, 320	7, 780	60, 528	28, 005	6, 190
...	...	...	...	...	...	…	...	...	...	...	...	...	...
	1, 75		3, 0625		40, 25	70, 438	-1, 808	0, 063	23, 250	-0, 250	0, 063	3, 269	2, 427
	1, 96	26, 2	3, 8416	686, 44	51, 352	100, 650	1, 392	0, 002	24, 552	1, 648	2, 716	1, 938	0, 066
	2, 45	30, 9	6, 0025	954, 81	75, 705	185, 477	6, 092	0, 201	27, 590	3, 310	10, 956	37, 112	7, 740
∑	50, 03	620, 2	105, 8725	15906, 6	1276, 92	2763, 373		5, 751	620, 186	0, 014	242, 3441	520, 718	221, 086

 

 

Виходячи з методу найменших квадратів, для знаходження невідомих параметрів â ₀ , â ₁ , запишемо систему нормальних рівнянь:

 

nâ ₀ + â ₁∑ х_i =Σ y_i 25â ₀ +50, 03 â ₁ = 620, 2

 

â ₀ ∑ х_i + â ₁∑ х_i ² = Σ y_i x_i 50, 03â ₀ + 105, 872â ₁=1276, 921

 

 

Поділимо кожне рівняння системи на коефіцієнти при параметрі â ₀

â ₀ +2, 0012 â ₁ = 24, 808

â ₀ +2, 1162 â ₁ = 25, 5231

 

Віднімемо від другого рівняння перше і одержимо:

0, 115 â ₁ =0, 7151. Звідси â ₁=6, 2. Підставимо це значення в перше рівняння останньої системи і знайдемо â ₀: â ₀= 24, 808 – 2, 0012× 6, 2183=12, 4. Отже економетрична модель має вид (для фактичних значень залежної змінної)

Y = 12, 4 + 6, 2 x + u.

Оскільки, вільний член моделі â ₀ ≠ 0, то урожайність зернових культур не є строго пропорційною до рівня внесення мінеральних добрив, â ₁ = 6, 2 показує, що при додатковому внесенні на 1 га 1 ц д. р. мінеральних добрив урожайність збільшиться на 6, 2 ц/га.

Еластичність урожайності щодо рівня внесення мінеральних добрив визначається коефіцієнтом еластичності:

Е = = = 0, 5 %.

Значення цього коефіцієнта слід тлумачити так: при збільшенні внесення мінеральних добрив на 1% урожайність зернових культур зросте на 0, 5%.

Залишки обчислюються згідно з рівністю:

u_i = y_i – ŷ _i..

Оцінка дисперсії залишків подається так:

= =10, 5367, =3, 246.

Для залишків u_i можна задати певну функцію закону розподілу, наприклад функцію нормального розподілу.

Оцінкою фактичного коефіцієнта кореляції є вибірковий коефіцієнт кореляції, який можна обчислити за формулою:

,

= , = 0, 4797;

= , =4, 5637;

= =0, 6537.

Вибірковий коефіцієнт кореляції є точковою оцінкою фактичного коефіцієнта кореляції і тому потребує перевірки на суттєвість. Вона базується на критерії Стьюдента за формулою:

t= , r − вибірковий коефіцієнт кореляції, n-m− число ступенів вільності.

Якщо t › t_табл. , де t_табл. − відповідне табличне значення t розподілу з (n –m) ступенями вільності та рівнем значущості α, то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції між залежною і незалежною змінними моделі. Для нашого прикладу:

t= = = =4, 1424.

Табличне значення t − критерія для рівня значущості α =0, 05 і n− m=23 ступенів свободи дорівнює 2, 0687. Оскільки t › t_табл. робимо висновок, що коефіцієнт кореляції є значущим і зв’язок між x та y є суттєвим.

Для аналізу якості опису існуючої залежності між двома ознаками часто використовують індекс кореляції. Він розраховується за формулою:

= =0, 6516≈ 0, 65.

Перевірку гіпотези про значущість параметрів економетричної моделі можна виконати згідно з t- критерієм:

t_j= .

Обчислене значення t- критерію порівнюється з табличним для вибраного рівня істотності і n-m ступенів свободи. Якщо t_факт> t_табл, то відповідний параметр економетричної моделі є достовірним.

Дисперсії параметрів економетричної моделі можна визначити за формулами:

= = =117, 62, = 10, 85;

= = ⁼0, 00098, = 0, 031.

Отже, перевіримо гіпотези про значущість оцінок параметрів моделі, побудованої на основі вихідних даних, наведених у табл. 1

t₁= = =16, 13;

t₀= = =0, 35.

Нехай число ступенів свободи n-m =25-2=23 і рівень значущості α =0, 05, тоді t_табл=2, 0687. Оскільки t_1факт> t_табл , то параметр â ₁є значущий, t_0факт < t_табл, то параметр â ₀ є незначущим.

Для подальшого аналізу побудованої економетричної моделі визначимо коефіцієнт детермінації. Він показує, на скільки відсотків варіація результативної ознаки y визначається варіацією чинника х:

D = r²× 100% = 0, 65²× 100% =42, 25%. Це означає, що варіація урожайності на 42, 25 % пояснюється дією мінеральних добрив і на 57, 75 % впливом інших неврахованих випадкових чинників.

Перевірити на значущість коефіцієнт детермінації можна за допомогою F-критерію:

F_{k-1, n-k}= : .

Фактичне значення F-критерію порівнюється з табличним при ступенях свободи k-1 і n-k і при вибраному рівні значущості. Якщо F_факт > F_табл, то гіпотеза про значущість коефіцієнт детермінації підтверджується, у противному разі – відхиляється. У нашому випадку:

F_{k-1, n-k}= : = F_{2-1, 25-2}= : =16, 827.

Табличне значення F-критерію при ступенях свободи 1 і 23 і при рівні значущості 0, 05 (F_{1, 23}(0, 05)) дорівнює 4, 28. Оскільки F_факт > F_табл , можна зробити висновок про значущість коефіцієнта детермінації.

Перевірити модель на адекватність можна також за допомогою також F-критерію:

F_{k-1, n-k}= .

 

За даними табл. 1 фактичне значення критерія Фішера буде дорівнювати:

F_{1, 23}= = = 20, 982.

Оскільки F_факт > F_табл , можна зробити висновок, що побудована модель адекватна реальній дійсності.

Одним з важливих завдань економетричного моделювання є оцінка прогнозного значення результативної ознаки за умови, що значення чинника задано на перспективу. На основі побудованої економетричної моделі можна отримати точковий прогноз результативної ознаки на перспективу. Нехай x_прогн=3 ц д. р., тоді y_прогн=12, 4 + 6, 2 x_прогн= 12, 4 + 6, 2 3=31 ц/га.

На основі точкового прогнозу можна побудувати інтервальний прогноз скориставшись формулою:

y_прогн ± t_табл .

Для нашої моделі за даними табл. 1 інтервальний прогноз для залежної змінної буде такий:

31 ± 2, 0687 3, 246 =31 ± 12, 4692 1, 1017=31±13, 74.

Отжез імовірністю 1-α =0, 95 можна стверджувати, що при рівні внесення мінеральних добрив в розмірі 3 ц д. р. врожайність зернових культур будеь коливатись в межах від 17, 26 (31 - 13, 74=17, 26) до 44, 74 (31 + 13, 74=44, 74) ц/га.

1.3. Завдання для самостійної роботи

На основі статистичних даних про прибуток (Y) фірми та інвестиції (X):

1. побудувати просту лінійну економетричну модель y = a₀ + a₁x₁ + u (y =a₀ +a₁x₁ – за розрахунковими даними), визначивши оцінки параметрів a₀, a₁, виходячи з методу найменших квадратів;

2. дати економічну інтерпретацію одержаних параметрів;

3. зобразити графічно економетричну модель (за графічними і розрахунковими даними);

4. визначити коефіцієнт еластичності та пояснити його;

5. обчислити показники тісноти зв’язку між результативною ознакою та чинником (коефіцієнт та індекс кореляції), пояснити їх;

6. перевірити суттєвість параметрів моделі та побудувати інтервали довіри для параметрів узагальненої економетричної моделі;

7. визначити коефіцієнт детермінації та перевірити його суттєвість;

8. перевірити отриману модель на адекватність;

9. на основі побудованої економетричної моделі обчислити прогнозне значення результату для заданого прогнозного значення інвестицій: Х_пр.=10, 5;

10. результати обчислень оформити в таблиці.

Вихідні дані в умовних одиницях для різних варіантів наведено у варіантах 1 – 12.

Варіант 1 Варіант 2 Варіант 3

№	Y	X		№	Y	X		№	Y	X
	8, 1	4, 5		7, 7	5, 1		8, 3	5, 5
	13, 4	4, 5		13, 9	4, 9		14, 1	5, 1
	15, 4	5, 4		15, 9	5, 8		16, 1	6, 2
	17, 6	5, 8		18, 1	6, 2		18, 3	6, 4
	17, 8	6, 4		18, 3	6, 8		18, 5	7, 4
	19, 5	7, 2		20, 1	7, 6		20, 3	7, 8
	10, 4	7, 8		10, 9	8, 2		11, 1	8, 4
	13, 5	5, 2		14, 2	5, 6		14, 4	5, 8
	15, 2	5, 7		15, 7	6, 1		15, 9	6, 3
	17, 1	6, 3		17, 6	6, 7		17, 8	6, 9
	18, 3	6, 7		18, 8	7, 1		19, 1	7, 3
	11, 4	6, 9		11, 9	7, 3		12, 1	7, 5
	16, 2	6, 1		16, 7	6, 5		16, 9	6, 7
	19, 8	7, 2		20, 3	7, 6		20, 5	7, 8
	20, 4	7, 5		20, 9	7, 9		21, 1	8, 1
	21, 7	7, 8		22, 2	8, 2		22, 4	8, 4

 

 

Варіант 4 Варіант 5 Варіант 6

№	Y	X		№	Y	X		№	Y	X
	8, 2	5, 6		7, 2	5, 1		7, 7	5, 3
	14, 2	5, 2		13, 4	4, 5		13, 9	4, 9
	16, 2	6, 3		15, 4	5, 4		15, 9	5, 8
	18, 4	6, 5		17, 6	5, 8		18, 1	6, 2
	18, 6	7, 5		17, 8	6, 4		18, 3	6, 8
	20, 4	7, 9		18, 4	7, 2		20, 1	7, 5
	11, 2	8, 5		10, 4	7, 8		10, 9	8, 2
	14, 5	5, 9		13, 5	5, 2		14, 2	5, 6
	16, 2	6, 4		15, 2	5, 7		15, 7	6, 1
	17, 9	7, 5		16, 9	6, 3		17, 4	6, 7
	19, 2	7, 4		18, 3	6, 7		18, 8	7, 1
	12, 2	7, 6		11, 4	7, 1		11, 9	7, 5
	17, 4	6, 8		16, 2	6, 1		16, 7	6, 5
	20, 6	7, 9		19, 8	7, 2		20, 3	7, 6
	21, 2	8, 2		20, 4	6, 9		20, 9	7, 3
	22, 5	8, 5		22, 1	7, 8		22, 6	8, 2

 

Варіант 7 Варіант 8 Варіант 9

№	Y	X		№	Y	X		№	Y	X
	8, 1	6, 1		8, 2	6, 2		7, 4	5, 1
	14, 1	5, 1		14, 2	5, 2		13, 4	4, 5
	16, 1	6, 2		16, 2	6, 3		15, 4	5, 4
	18, 3	6, 4		18, 4	6, 5		17, 6	5, 8
	18, 5	7, 4		18, 6	7, 5		17, 3	6, 2
	20, 3	7, 7		20, 4	7, 8		18, 4	7, 2
	11, 1	8, 4		11, 2	8, 5		10, 4	7, 8
	14, 4	5, 8		14, 5	5, 9		13, 5	5, 2
	15, 9	6, 3		16, 2	6, 4		15, 2	5, 7
	17, 6	6, 9		17, 7	7, 5		17, 1	6, 8
	19, 1	7, 3		19, 2	7, 4		18, 3	6, 7
	12, 1	7, 7		12, 2	7, 8		11, 4	7, 1
	16, 9	6, 7		17, 4	6, 8		16, 2	6, 1
	20, 5	7, 8		20, 6	7, 9		19, 8	7, 2
	21, 1	7, 5		21, 2	7, 6		20, 4	6, 9
	22, 8	8, 4		22, 9	8, 5			22, 4	8, 1

 

Варіант 10 Варіант 11 Варіант 12

№	Y	X		№	Y	X		№	Y	X
	7, 7	5, 3		8, 1	6, 1		8, 2	6, 2
	13, 9	4, 9		14, 1	5, 1		14, 2	5, 2
	15, 9	5, 8		16, 1	6, 2		16, 2	6, 3
	18, 1	6, 2		18, 3	6, 4		18, 4	6, 5
	17, 8	6, 6		18, 0	7, 4		18, 1	7, 5
	20, 1	7, 5		20, 3	7, 7		19, 5	7, 8
	10, 9	8, 2		11, 1	8, 4		11, 2	8, 5
	14, 2	5, 6		14, 4	5, 8		14, 5	5, 9
	15, 7	6, 1		15, 9	6, 3		16, 2	6, 4
	17, 6	7, 2		17, 8	7, 4		17, 9	7, 5
	18, 8	7, 1		19, 1	7, 3		19, 2	7, 4
	11, 9	7, 5		12, 1	7, 7		12, 2	7, 8
	16, 7	6, 5		16, 9	6, 7		17, 4	6, 8
	20, 3	7, 6		20, 5	7, 8		20, 6	7, 9
	20, 9	7, 3		21, 1	7, 5		21, 2	7, 6
	22, 4	8, 5		23, 1	8, 7		23, 2	8, 8