Говорят, что бесконечно малая a(x) имеет порядок k по сравнению с бесконечно малой b(x) при , если имеют одинаковый порядок малости бесконечно малые a(x) и (b (x))k, то есть.
Пример 1 Сравнить бесконечно малые функции a(x) при с бесконечно малой функцией b(x) = x, , если 1) 2) 3) 4) Решение.
Вычисляем предел отношения в каждом случае: 1) бесконечно малая x3 имеет более высокий порядок малости, чем бесконечно малая x при . Это означает, что быстрее, чем . Ответ: x3 = о (x) при .
2) бесконечно малая имеет более низкий порядок малости, чем бесконечно малая x при . Это означает, что медленнее, чем . Ответ: x = о () при .
3) бесконечно малые 10x и x при имеют одинаковый порядок малости. Ответ: 10x = O (x) при .
4) следовательно, есть бесконечно малая, эквивалентная , при . Ответ: при .
Пример2. Определить порядок бесконечно малой функции относительно бесконечно малой при . Решение. Составим . Этот предел будет равен некоторому числу , если сократится . Чтобы так произошло, нужно взять k = 8. Действительно, . Таким образом, k = 8 – это порядок данной функции y относительно функции x при . Ответ: О (x8), то есть k = 8.
|