Неопределенностей

 

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки .

Число А называется пределом функции при

(в точке ), если для любого , сколь малым бы оно ни было, существует число , зависящее от , такое, что при , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство .

Если А – предел функции при , то пишут:

или при .

В самой точке функция может и не существовать, т.е. значение функции может быть не определено.

 

Аналогично запись означает, что

для любого числа , сколь малым бы оно ни было, существует число , зависящее от , такое, что при всех справедливо неравенство .

 

Говорят, что предел функции в точке равен бесконечности, и пишут , если

для любого числа , сколь большим бы оно ни было, существует число , зависящее от M, такое, что при всех x, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство

 

Справедливы следующие основные теоремы о конечных пределах.

Пусть существуют и , тогда

1.

2.

3. , где

4. , если

(Все теоремы верны и при ).

Если некоторый предел не может быть вычислен ни по одной из о конечных пределах, ни по теоремам о бесконечно малых и о бесконечно больших функциях, то говорят, что этот предел имеет неопределенность, и указывает ее вид.

Основные виды неопределенностей:

, , .

Чтобы вычислить предел, содержащий неопределенность, нужно эту неопределенность раскрыть, то есть преобразовать функцию, стоящую под пределом, так, чтобы неопределенность исчезла.

При вычислении пределов главная задача состоит в том, чтобы научиться раскрывать неопределенности.

 

Пример 1.

Доказать по определению предела, что .

Решение.

Нам надо доказать, что для любого числа , сколь малым бы оно ни было, существует такое число , что из неравенства следует неравенство .

Зададим и составим неравенство

.

Тогда если взять , то для всех значений , удовлетворяющих условию , будет выполняться неравенство . Следовательно, , что и требовалось доказать.

 

Пример 2.

Найти

Решение.

Воспользуемся теоремами о конечных пределах и получим, что .

 

Правило 1

Eсли предел при рациональной дроби имеет неопределенность , то нужно числитель и знаменатель дроби разложить на множители так, чтобы выделить множитель , который стремится к нулю при , и сократить на него.

 

Пример 3.

Найти .

Решение.

Т.к. пределы числителя и знаменателя равны 0, применить теорему о пределе частного нельзя, имеем неопределенность вида . Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель , который обращает в нуль числитель и знаменатель. Получим

.

 

 

Пример 4.

Найти

Решение.

.

 

 

Пример 5.

Найти

Решение.

Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное числителю , чтобы, получив разность квадратов в числителе и разложив на множители знаменатель, сократить на :

.

 

 

Пример 6.

Найти .

Решение.

Имеем неопределенность вида . Умножим числитель и знаменатель на неполный квадрат суммы выражения (), чтобы получить в знаменателе разность кубов. Далее выделим в числителе и знаменателе множитель и сократим на него:

 

 

Правило 2

Чтобы раскрыть неопределенность вида , образованную при делением многочленов или иррациональных выражений, нужно вынести за скобки в числителе и знаменателе старшие степени переменной x и сократить дробь под знаком предела.

 

 

Пример 7.

Найти .

Решение.

Т.к. числитель и знаменатель дроби неограниченно растут при , то имеем неопределенность .Для ее раскрытия вынесем за скобки в числителе и знаменателе старшую степень переменной и сократим на нее:

.

Здесь учтено, что и при .

 

 

Пример 8.

Найти .

Решение.

Аналогично рассмотренному в предыдущем примере:

 

 

Пример 9.

Найти .

Решение.

 

 

Пример 10. Обобщение результатов предыдущих примеров.

Найти , где n и m – натуральные числа, .

Решение.

Имеем неопределенность . Вынесем за скобки в числителе , в знаменателе и получим:

Предел второго множителя равен . Предел первого множителя зависит от соотношения между числами и :

если , то и, следовательно, общий предел бесконечен;

если , то и общий предел ;

если , то и общий предел равен нулю.

Итак, получен результат, которым можно пользоваться для раскрытия неопределенностей , образованных при делением целых многочленов:

.

Например,

так как n = m = 3;

так как n =5, m = 4, то есть n > m;

так как n =5, m = 6, то есть n < m.

 

 

Правило 3.

Случай, когда при или функция представляет разность двух положительных бесконечно больших величин, т.е. неопределенность , можно привести к неопределенности или путем преобразования функции к дроби.

Пример 11.

Найти .

Решение.

Так как знаменатель каждой дроби есть величина бесконечно малая при , а числители есть числа, не равные нулю, то каждая из дробей является бесконечно большой величиной, т.е. имеем неопределенность . Чтобы раскрыть ее, приведем дроби к общему знаменателю:

 

.

 

 

Пример 12.

Найти .

 

Решение.

Имеем неопределенность . Чтобы раскрыть ее, умножим и разделим выражение на . В результате получим:

.

Т.к. , то дальнейшее решение надо проводить отдельно для и :

 

 

Пример 13.

Найти .

 

Решение.

При степень числителя больше степени знаменателя у обеих дробей /смотри пример 10 /, значит имеем неопределенность . Чтобы раскрыть ее, приведем дроби к общему знаменателю:

 

 

(т.к. степени числителя и знаменателя равны, то предел равен отношению коэффициентов при старших степенях).

 

 

Самостоятельная работа.

 

Вариант 1.

Найти: а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Вариант 2.

Найти: а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Вариант 3.

Найти: а) ; б) ;

в) ; г)

 

 

Ответы.

Вариант 1: а) ; б) ; в) ; г) .

Вариант 2: а) ; б) ; в) ; г) .

Вариант 3: а) ; б) ; в) ; г) .

 

 

Дополнительные упражнения.

 

1. а)б)в) 2.а)б)в)

3. 4.

 

5. 6.

 

7. 8.

 

Ответы:

 

1. а) , б) , в) ;	5. ;
2. а) , б) , в) ;	6. ;
3. 7;	7. ;
4. ;	8. .