Замечательные пределы. Эквивалентные бесконечно малые функции

При раскрытии неопределенностей используются следующие замечательные пределы:

1. .

2. или .

3. , в частности .

4. , в частности .

5. .

Две бесконечно малые функции a(x) и b(x) при , если предел их отношения при равен единице:

 

при .

 

Принцип замены бесконечно малых:

При раскрытии неопределенностей вида любой бесконечно малый множитель может быть заменен на ему эквивалентный.

 

Теоретические эквивалентности бесконечно малых функций следует из замечательных пределов и записываются следующим образом:

 

1. при
2.	при
3. при при	при
4. при	при

 

 

Пример 1.

Найти .

Решение.

Имеем неопределенность . Воспользуемся первым замечательным пределом:

.

Этот же предел можно найти с помощью эквивалентных бесконечно малых:

~ .

 

 

Пример 2.

Найти

Решение.

~ ~ .

 

 

Пример 3.

Найти .

Решение.

в разности нельзя заменять бесконечно малые функции на им эквивалентные, поэтому сначала проведем преобразования разности в произведение

 

 

Пример 4.

Найти .

Решение.

.

 

 

Пример 5.

Найти

Решение.

Разложим числитель на множители, используя формулу разности кубов:

.

 

 

Часто при вычислении пределов бывает удобно сделать замену переменной, чтобы воспользоваться эквивалентными бесконечно малыми функциями.

 

 

Пример 5.

Найти .

Решение.

Получаем неопределенность , но т.к. , то сразу воспользоваться эквивалентными бесконечно малыми нельзя. Введем новую переменную такую, чтобы она стремилась к нулю при :

Пример 6.

Найти .

Решение.

Имеем неопределенность , которую раскрываем с помощью второго замечательного предела: , добившись того, чтобы бесконечно малая величина z в основании степени и показатель были бы взаимно обратными дробями

.

Здесь подразумевалось, что при .

 

 

Пример 7.

Найти .

 

Решение.

Так как , то используем второй замечательный предел в форме: . Для этого в основании выделяем целую часть дроби:

.

Здесь при использовании замечательного предела подразумевали, что при .

 

Пример 8.

Найти .

Решение.

.

 

 

Пример 9.

Найти .

Решение.

 

 

Самостоятельная работа.

 

Вариант 1.

Найти: а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Вариант 2.

Найти: а) ; б) ;

в) ; г) .

 

Вариант 3.

Найти: а) ; б) ;

в) ; г) .

 

 

Ответы.

Вариант 1: а) ; б) ; в) ; г) .

Вариант 2: а) ; б) ; в) ; г) .

Вариант 3: а) ; б) ; в) ; г) .

 

 

Дополнительные упражнения.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

 

 

Ответы.

1. ; 2. ; 3. ; 4. 8; 5. ;

6. 24; 7. ; 8. ; 9. ; 10. .