Производная. Правила и формулы дифференцирования

 

Приращением функции называется разность , где – произвольное малое приращение аргумента .

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при и обозначается одним из следующих символов:

 

Таким образом, по определению

 

или .

 

Если указанный предел существует, то функцию называют дифференцируемой в точке , а операцию нахождения ее производной - дифференцированием.

 

Правила дифференцирования.

 

Если С – постоянная, – некоторые дифференцируемые функции, то:

1. ,

2.

3. ,

4.

5.

6. в частности, ,

7. если , т.е. - сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то

 

.

 

На основании определения производной и правил дифференцирования составляется таблица производных основных элементарных функций:

1. , .

2. , в частности .

3. , в частности .

4. ;

;

;

.

5. ;

;

;

.

6. ;

;

,

.

 

Пример 1.

Найти производную функции по определению:

а) ; б) .

Решение.

а) При любом приращении имеем:

Т.к. то

.

 

б)

.

 

 

Пример 2.

Доказать, что функция в точке недифференцируема.

Решение.

При любом приращении найдем приращение функции в точке :

Из определения производной следует, что

Так как односторонние пределы не совпадают, то не существует. Это и означает, что в точке данная функция не имеет производной, т.е. недифференцируема.

 

 

Пример 3.

Применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные следующих функций:

а) , б) ,

в) , г) ,

д) .

Решение.

а) Перепишем заданную функцию в виде

(при этом используются формулы и ).

Тогда по правилам дифференцирования суммы, вынесения постоянного множителя за знак производной и формуле производной степенной функции получим:

.

 

б) Преобразуем заданную функцию, раскрыв скобки в числителе и поделив почленно на знаменатель:

.

 

в) По правилу дифференцирования произведения и таблице производных находим, что

.

 

г) По правилу дифференцирования суммы, частного, произведения и таблице производных находим, что

 

д) Упростим заданную функцию, пользуясь свойствами логарифмов:

.

 

 

Пример 4.

Применяя правила и формулы дифференцирования, найти производные следующих сложных функций:

а) , б) , в) ,

г) , д) ,

е) .

Решение.

 

а) Данная функция является композицией двух функций и . По правилу дифференцирования сложной функции получаем:

.

 

б) Данная функция является композицией трех функций , и . Тогда по правилу дифференцирования сложной функции получаем:

.

 

в) .

 

г) Сначала применяем правило дифференцирования произведения, а затем - дифференцирования сложной функции:

 

д) Сначала применяем правило дифференцирования сложной функции, а затем - дифференцирования частного:

.

 

е)

 

 

Пример 5.

Найти значение , если

а) , б) .

Решение.

а) Упростим функцию, пользуясь свойствами логарифмов

;

при получим

 

б) Найдем производную

.

При получим .

 

 

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е.

,

откуда находят .

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называется логарифмическим дифференцированием. В некоторых случаях оно значительно упрощает нахождение производной. Логарифмическое дифференцирование полезно применять, когда заданная функция содержит логарифмирующиеся операции (умножение, деление, возведение в степень) и, в частности, для нахождения производной показательно-степенной функции

 

 

Пример 6.

Используя логарифмическое дифференцирование, найти если

а) , б) ,

в) , г) .

Решение.

а) Прологарифмируем функцию:

.

Найдем логарифмическую производную

.

Так как , то

.

 

б) Прологарифмируем функцию:

.

Найдем логарифмическую производную

.

Тогда .

 

в) Прологарифмируем функцию и продифференцируем по , имея в виду зависимость от :

 

В дальнейшем для дифференцирования показательно-степенных функций можно использовать эту формулу.

 

г) Здесь .

Найдем , .

Тогда по формуле, выведенной в предыдущем примере, получим

.

 

 

Самостоятельная работа.

 

Вариант 1.

Найти производные функций:

а) , б) ,

в) , г) .

 

 

Вариант 2.

Найти производные функций:

а) , б) ,

в) , г) .

 

 

Вариант 3.

Найти производные функций:

а) , б) ,

в) , г) .

 

Ответы.

Вариант 1. а) , б) ,

в) , г) .

 

 

Вариант 2. а) , б) ,

в) , г) .

 

Вариант 3. а) , б) ,

в) , г) .

 

 

Дополнительные упражнения.

 

Найти производные функций:

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) .

 

 

Ответы.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) .