Из уравнения первой параболы получаем

, тогда .

Аналогично для второй параболы:

, .

Тогда в точке А(1; 1) .

Для точки B(4; 4): , .

Тогда .

Ответ: .

 

 

Мгновенной скоростью или скоростью изменения функции в точке называется

.

Таким образом, производная есть скорость изменения функции.

 

 

Пример 5.

По оси ОХ движутся две материальные точки, законы движения которых и ( - в метрах, - в секундах). В какой момент времени их скорости окажутся одинаковыми?

Решение.

Найдем скорости обеих точек: , . Скорости будут равны при . Решим уравнение и получим , .

Ответ: , .

 

 

Пример 6.

Количество электричества (в кулонах), протекающее через поперечное сечение проводника, изменяется по закону . Найти силу тока в конце пятой секунды.

Решение.

Сила тока I(t) равна мгновенной скорости изменения количества электричества, протекающего через поперечное сечение проводника. Поэтому и ,

т.е. сила тока в конце пятой секунды равна 32 амперам.

Ответ: 32 амп.

 

 

Пример 7.

Тело массой движется прямолинейно по закону . Найти кинетическую энергию тела через 3с после начала движения

(масса задана в килограммах, путь - в метрах).

Решение.

По формуле кинетическая энергия тела .

Найдем скорость тела через 3с после начала движения:

.

Значит искомая кинетическая энергия тела равна

(дж).

Ответ: 36, 75 дж.

 

 

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

1. Записать уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

2. Материальная точка движется по закону

(s - в метрах, t – в секундах). Найти скорость ее движения в момент времени

 

Вариант 2.

1. Выяснить, в какой точке кривой касательная параллельна прямой . Написать уравнение этой касательной.

2. По оси абсцисс движутся две точки, имеющие законы движения и . С какой скоростью удаляются они друг от друга в момент встречи (х - в метрах, t- в секундах).

 

Вариант 3.

1. В какой точке параболы следует провести к ней касательную, чтобы последняя проходила через точку М(1; 1)?

2. Радиус шара возрастает равномерно со скоростью 5 см/с. Какова скорость изменения объема шара в момент, когда его радиус становится равным 50 см?

 

Ответы.

Вариант 1. 1. ; 2.

Вариант 2. 1.; 2. 15 м/c.

Вариант 3. 1. (2; 0), (0; 6); 2. 0, 05 м³/c.