Геометрический и механический смысл производной

 

Если функция имеет производную в точке , то угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен .

 

 

 

 

Уравнение касательной к графику функции в ее точке имеет вид

.

 

Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная к касательной, называется нормалью.

Если , то уравнение нормали записывается в виде

.

Если , то нормаль имеет уравнение .

 

Пусть графики функций и пересекаются в точке М ₀. За угол между графиками этих функций принимается величина меньшего угла, образованного касательными, проведенными к графикам в точке М ₀.

Угол находится с помощью формулы: , .

Если , то .

 

 

Пример 1.

Под какими углами синусоида пересекает ось абсцисс?

Решение.

Синусоида пересекает ось абсцисс в точках , .

Ее производная:

Если , то ,

то есть угловой коэффициент касательной к синусоиде равен единице. Следовательно, в точках синусоида пересекает ось абсцисс под углом .

Если , то ,

то есть в этих точках синусоида пересекает ось абсцисс под углом .

 

 

Ответ:

 

 

Пример 2.

Написать уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой .

Решение.

Найдем производную функции:

.

Вычислим значения функции и ее производной в точке :

, .

Запишем уравнение касательной

,

упрощая которое, получим .

Запишем уравнение нормали:

,

упрощая которое, получим .

Ответ: – уравнение касательной,

– уравнение нормали.