Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций

 

 

Пусть уравнение определяет переменную как неявную функцию от переменной (будем считать эту функцию дифференцируемой). Тогда для нахождения производной нужно продифференцировать обе части уравнения по , считая при этом, что зависит , и из полученного уравнения, линейного относительно , найти производную.

 

 

Пример 1.

Найти производные функций , заданных неявно следующими уравнениями: а) , б) .

Решение.

а) Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая :

.

Слагаемые с оставляем в левой части равенства, общий множитель выносим за скобки и находим как решение линейного уравнения:

.

Производная неявно заданной функции получается выраженной как через аргумент , так и через саму функцию . Поэтому в ответ ее следует записать вместе с уравнением, связывающим и .

Ответ: , где .

 

б) Дифференцируем обе части данного уравнения по , считая :

.

Слагаемые с переносим в левую часть равенства, общий множитель выносим за скобки и решаем уравнение относительно :

.

Ответ: , где .

 

 

Если функция аргумента задана параметрически:

, то ее производная вычисляется по формуле: .

 

 

Пример 2.

Найти производную функции, заданной параметрически:

а) , б) .

Решение.

а) , .

Тогда по формуле получим

Производная получилась выраженной через параметр . Как известно, производная функции является функцией того же аргумента . Поэтому полученная производная в рассматриваемом примере должна быть записана в параметрической форме.

Ответ: .

 

б) ,

.

Тогда по формуле получим .

Ответ: .

 

 

Самостоятельная работа.

Вариант 1.

а) Найти производную функции , заданную неявно .

б) Найти производную функции, заданной параметрически .

 

 

Вариант 2.

а) Найти производную функции , заданную неявно .

б) Найти производную функции, заданной параметрически .

 

Вариант 3.

а) Найти производную функции , заданную неявно

.

б) Найти производную функции, заданной параметрически

.

 

 

Ответы.

Вариант 1.

а) , где ; б) .

Вариант 2.

а) , где ; б) .

Вариант 3.

а) , где ; б) .

 

Дополнительные упражнения.

1. Убедиться в том, что функция , определяемая уравнением , удовлетворяет также соотношению .

2. Убедиться в том, что функция , заданная параметрически уравнениями , удовлетворяет соотношению где .

3. Убедиться в том, что функция удовлетворяет соотношению , где .