Методические указания и решение типовых задач. Исследование вариации в статистике и социально-экономи­ческих исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака в статистической

 

Исследование вариации в статистике и социально-экономи­ческих исследованиях имеет важное значение, так как величина вариации признака в статистической совокупности характеризу­ет ее однородность.

В статистической практике для изучения и измерения вари­ации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, сред­ний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

При изучении вопроса о вариации нужно четко представлять себе условия, порождающие вариацию признаков, а также сущ­ность и значение измерения вариации признаков. Следует также усвоить, что изучение вариации признаков общественных явле­ний находится в прямой связи с группировками, в частности с рядами распределения. Очень важно научиться свободно исчис­лять все показатели вариации.

Способы вычисления показателей вариации. Размах ва­риации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака.

R = x_max – x_min,

где х_max – наибольшее значение варьирующего признака;

х_min – наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение () представляет собой сред­нюю величину из отклонений вариантов признака от их средней. Его можно рассчитать по формуле средней арифметической, как невзвешенной, так и взвешенной, в зависимости от отсутствия или наличия частот в ряду распределения:

– невзвешенное среднее линейное отклонение;

– взвешенное среднее линейное отклонение.

Символы х_i, , f_i и n имеют то же значение, что и в преды­дущей главе. Рассмотренные выше показатели имеют ту же раз­мерность, что и признак, для которого они вычисляются.

Пример. На основе данных табл. 7.1 рассчитаем среднее линейное отклонение для дискретного ряда распределения.

Решение. Размах вариации стажа равен:

R = 12 – 8 = 4 года.

Результаты вспомогательных расчетов даны в графах 3-5 табл. 7.1.

Средний стаж работы определяем по формуле средней ариф­метической взвешенной:

Отклонения индивидуальных значений стажа от средней с уче­том и без учета знака содержатся в графах 4 и 5, а произведения отклонений по модулю на соответствующие частоты – в гр. 6.

Таблица 7.1

Распределение учителей средних школ района по стажу работы

 

Стаж работы, лет xi (признак)	Число учителей в % к итогу fi (вес (частота))	xifi
			-2
			-1
Итого				-

 

Среднее линейное отклонение стажа работы учителей сред­них школ района

Показатели дисперсии и среднего квадратического отклоне­ния являются общепринятыми мерами вариации и широко ис­пользуются в статистических исследованиях.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины (обо­значается греческой буквой σ ² – «сигма квадрат»). Дисперсия вычисляется по формулам простой невзвешенной и взвешенной:

– невзвешенная;

– взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдель­ных значений признака от их средней:

– невзвешенное;

– взвешенное.

Среднее квадратическое отклонение – величина именованная, имеет размерность осредняемого признака.

Пример. Рассчитаем дисперсию и среднее квадратическое отклонение для следующего ряда распределения (табл. 7.2).

 

Таблица 7.2

Распределение магазинов города по товарообороту во II квартале 1998 г.

 

Группы магазинов по величине товарооборота, тыс. руб.	Число магазинов fi	Середина интервала, тыс. руб. хi,	xifi
А
40-50				-49, 2	2420, 64	4841, 28
50-60				-39, 2	1536, 64	6146, 56
60-70				-29, 2	852, 64	5968, 48
70-80				-19, 2	368, 64	3686, 40
80-90				-9, 2	84, 64	1269, 60
90-100				0, 8	0, 64	12, 80
100-110				10, 8	116, 64	2566, 08
110-120				20, 64	432, 64	4759, 04
120-130				30, 8	948, 64	5691, 84
130-140				40, 8	1664, 64	4993, 92
Итого				-	-	39936, 00

Решение. В приведенных ранее примерах мы имели дело с дискретными рядами. При расчете показателей вариации по интервальным рядам распределения (табл. 7.2) необходимо сначала определить середины интервалов, а затем вести дальней­шие расчеты, рассматривая ряд середин интервалов как дискрет­ный ряд распределения.

Результаты вспомогательных расчетов для определения дис­персии и среднего квадратического отклонения содержатся в графах 2-6 табл. 7.2.

Средний размер товарооборота определяется по средней арифметической взвешенной и составляет:

Дисперсия товарооборота

Среднее квадратическое отклонение товарооборота опреде­ляется как корень квадратный из дисперсии:

Расчет дисперсии прямым способом в ряде случаев трудо­емок, поэтому логично, используя свойства дисперсии, упростить ее вычисления, например используя расчет дисперсии по спосо­бу отчета от условного нуля или способу моментов по следую­щей формуле:

С использованием начальных моментов формула расчета дис­персии по способу моментов имеет следующий вид:

σ ²= k² (m₂ – m₁²),

где k – величина интервала;

А – условный нуль, в качестве которого удобно использовать середину интервала с наибольшей частотой;

– начальный момент первого порядка;

– начальный момент второго порядка.

В случае когда А приравнивается к нулю и, следовательно, не вычисляются отклонения, формула принимает вид:

или

Воспользуемся данными предыдущего примера и рассчита­ем дисперсию по способу отсчета от условного нуля и способу моментов. Расчет произведем в табличной форме (табл. 7.3).

 

Таблица 7.3

Расчет дисперсии способом отчета от условного нуля

 

Группы магазинов по товаро­обороту, тыс. руб.	Число магазинов fi	Середина интерва­ла, тыс. руб. xi	xi – A (А = 95)	(k = 10)
40-50			-50	-5	-10
50-60			-40	-4	-16
60-70			-30	-3	-21
70-80			-20	-2	-20
80-90			-10	-1	-15
90-100
100-110
110-120
120-130
130-140
Итого		-	-	-	-8		-

 

По способу отсчета от условного нуля:

По способу моментов получаем:

По способу разности между средней квадратов вариантов признака и квадратом их средней величины

Результаты расчетов дисперсии по всем трем способам дают одну и ту же величину.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемо­сти одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая. Эти показатели вы­числяются как отношение размаха, или среднего линейного от­клонения, или среднего квадратического отклонения к средней арифметической. Чаще всего, они выражаются в процентах и характеризуют не только сравнительную оценку вариации, но и дают характеристику однородности совокупности. Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превыша­ет 33% (для распределений, близких к нормальному). Различают следующие относительные показатели вариации (V):

Коэффициент осцилляции: .

Линейный коэффициент вариации: .

Коэффициент вариации: .

Рассмотрим примеры определения этих показателей.

По данным табл. 7.1, коэффициент осцилляции , а линейный коэффициент вариации .

Коэффициент вариации вычислим на основе ряда распределения, представленного в табл. 7.2: .

Наиболее часто в практических расчетах из этих трех пока­зателей применяется коэффициент вариации.

Статистическое изучение вариации многих социально-эконо­мических явлений проводится и при помощи дисперсии альтер­нативного признака. Обозначим наличие данного признака 1, от­сутствие 0, долю вариантов, обладающих данным признаком, р, а не обладающих им q. Так как ряд р + q = 1, то средняя = р, а дисперсия альтернативного признака σ ² = pq, где , n – число наблюдений, m – число единиц совокупности, облада­ющее данным признаком, q = 1 – р.

Определим дисперсию альтернативного признака по следую­щим данным: налоговой инспекцией одного из районов города проверено 172 коммерческих киоска и в 146 обнаружены финан­совые нарушения. Тогда

n = 172, m = 146; ; q = 1 – 0, 85 = 0, 15; σ ² = 0, 85 · 0, 15 = 0, 1275.

Наряду с изучением вариации признака по всей совокупнос­ти в целом часто бывает необходимо проследить количествен­ные изменения признака по группам, на которые разделяется совокупность, а также и между группами. Такое изучение вари­ации достигается посредством вычисления и анализа различных видов дисперсии.