ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ. Редактор, гл. специалист
Учебное пособие
Редактор, гл. специалист издательства Е.М. Куликова
Подписано в печать…… 2008. Формат Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 4, 67. Усл. печ. л…4, 73. Тираж 500 экз. Заказ №
ИД 06506 от 26. 12. 2001 664074, г. Иркутск, Лермонтова, 83 Иркутский государственный технический университет
Отпечатано в….
[1] Для этого возведем (3.47) в степень g и разделим на (3.46): , преобразовывая это равенство, получаем:. Логарифмируем последнее выражение:,. учитывая, что и, формулу можно упростить, воспользовавшись приближенным равенством: З.Н. Есина ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ Учебное пособие Кемерово 2010 УДК 53(075.8) Печатается по решению редакционно-издательского совета ГОУВПО «Кемеровский государственный университет» Рецензенты Доктор технических наук, профессор Кемеровского технологического института пищевой промышленности Мирошников А.М. кандидат физико-математических наук, доцент ГОУ ВПО «Кемеровская государственная медицинская академия» Бухтоярова В.И. Е 83 Есина, 3. Н. Практикум по физике. Учебное пособие. /3. Н. Есина; ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет». - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2010. - 158 с. ISBN Учебное пособие разработано по курсу «Физика» для специальностей математического факультета 010501, 010503 и содержит теоретический материал, примеры решения задач и задания для самостоятельной работы. ISBN ББК В3я73 © Есина 3. Н., 2010 © ГОУ ВПО КемГУ», 2010 ПРЕДИСЛОВИЕ Цель настоящих методических указаний — оказать помощь студентам математического факультета в изучении курса физики. Учебный материал указаний включает в себя такие разделы физики, как механика, молекулярная физика, термодинамика, электростатика, постоянный ток, магнетизм, оптика. Весь материал разбит в указаниях на пять основных разделов, в каждом из которых даны основные формулы, примеры решения задач и задачи для самостоятельного решения (контрольные задания). РАЗДЕЛ I. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
1. Кинематическое уравнение движения материальной точки (центра масс твердого тела) вдоль оси : , где некоторая функция времени. 2. Средняя скорость: . 3. Средняя путевая скорость: , где - путь, пройденный точкой за интервал . Путь , в отличие от разности координат , не может убывать и принимать отрицательные значения, т.е. . 4. Мгновенная скорость: . 5. Среднее ускорение: . 6. Мгновенное ускорение: . 7. Кинематическое уравнение движения материальной точки по окружности: . 8. Угловая скорость: . 9. Угловое ускорение: . 10. Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки по окружности: , где - линейная скорость: и - тангенциальное и нормальное ускорения, - угловая скорость, - угловое ускорение, - радиус окружности. 11. Полное ускорение: . 12. Угол между полным ускорением и нормальным ускорением : . 13. Уравнение гармонических колебаний материальной точки: , где - смещение, А - амплитуда колебаний, - угловая или циклическая частота, - начальная фаза. 14. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания: . 15. Ускорение материальной точки, совершающей гармонические колебания: . 16. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты: а) амплитуда результирующего колебания: . б) начальная фаза результирующего колебания . 17. Уравнения, описывающие траекторию точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях: . a) , (если разность фаз ), б) , (если разность фаз ), в) , (если разность фаз ). 18. Уравнение плоской бегущей волны: , где y – смещение любой из точек среды с координатой в момент , - скорость распространения колебания в среде. 19. Связь разности фаз колебаний с расстоянием между точками среды , отсчитанными в направлении распространения колебаний , где - длина волны. 20. Импульс материальной точки с массой m, движущейся поступательно со скоростью : . 21. Второй закон Ньютона: , где - сила, действующая на тело. 22. Силы, рассматриваемые в механике: а) сила упругости: , где - коэффициент упругости (в случае пружины - жесткость), - абсолютная деформация, б) сила тяжести . в) сила гравитационного взаимодействия , где - гравитационная постоянная, и - массы взаимодействующих тел, r - расстояние между телами (тела рассматриваются как материальные точки). В случае гравитационного взаимодействия силу можно выразить также через напряженность G гравитационного поля: . г) сила трения (скольжения) , где m - коэффициент трения, N - сила нормального давления. 23. Закон сохранения импульса: , или для двух тел (i = 2), , где и - скорости тел в момент времени, принятый за начальный, и - скорости тех же тел в момент времени, принятый за конечный. 24. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно: или . 25. Потенциальная энергия: а) упругодеформированной пружины: , где - жесткость пружины, - абсолютная деформация. б) гравитационного взаимодействия: , где - гравитационная постоянная, и - массы взаимодействующих тел, r - расстояние между ними (тела рассматриваются как материальные точки), в) тела, находящегося в однородном поле силы тяжести: , где - ускорение свободного падения, - высота тела над уровнем, принятым за нулевой (формула справедлива при условии , где - радиус Земли) 26. Закон сохранения механической энергии: . 27. Работа , совершаемая внешними силами, определяется как мера изменения энергии системы: . 28. Основное уравнение динамики вращательного движения относительно неподвижной оси: , где - результирующий момент внешних сил, действующих на тело, - угловое ускорение, - момент инерции тела относительно оси вращения. 29. Момент инерции некоторых тел массой m относительно оси, проходящей через центр масс: а) стержня длины относительно оси, перпендикулярной стержню, . б) обруча (тонкостенного цилиндра) относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча (совпадающей с осью цилиндра), , где - радиус обруча (цилиндра), в) диска радиусом R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска, . 30. Закон сохранения момента импульса системы тел, вращающихся вокруг неподвижной оси: , где и - момент инерции системы тел и угловая скорость вращения в момент времени, принятый за начальный, и - момент инерции и угловая скорость в момент времени, принятый за конечный. 31. Момент импульса тела, вращающегося относительно неподвижной оси: , где - угловая скорость тела. 32. Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: или .
1.2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид: , где A = 2 м, B = 1 м/с, C = 0, 5 м/с3. Найти координату , скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 c. Решение: Координату найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов A, B, C и времени t: . Мгновенная скорость есть первая производная от координаты по времени: В момент времени t = 2 c: Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени: . В момент времени t = 2 c. . Пример 2. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону , где , , . Найти полное ускорение точки, находящейся на расстоянии r = 0, 1 м от оси вращения, для момента времени t = 4 c. Решение: Полное ускорение тела, движущегося по криволинейной
траектории, может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории (Рис. 1):
Рис. 1 Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то абсолютное значение ускорения (1) Тангенциальное и нормальное ускорение точки вращающегося тела выражается формулой:
где - угловая скорость тела, - угловое ускорение. Подставляя найденные выражения для в формулу (1), находим . (2) Угловую скорость найдем, взяв производную от угла поворота по времени: В момент времени t = 4 c угловая скорость = (20+2(-2)4) = 4 рад/с. Угловое ускорение найдем, взяв первую производную от угловой скорости по времени: Это выражение не содержит времени, следовательно, угловое ускорение данного движения постоянно. Подставляя найденные значения и , и заданное значение в формулу (2) получим Пример 3. Шар массой , движущийся горизонтально с некоторой скоростью , столкнулся cнеподвижным шаром массой . Шары абсолютно упругие, удар прямой, центральный. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму? Решение: Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится отношением: (1) где – кинетическая энергия первого шара до удара, , - скорость и кинетическая энергия второго шара после удара. Как видноиз формулы (3), для определения надо найти . При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии. Пользуясь этими законами, найдем . По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, получим. (2) позакону механической энергии (3) решая совместно уравнения (2) и (3), найдем (4) Подставимвыражение (4) в формулу (1) и, сократив на , получим . Из полученного соотношения видно, что доля переданной энергии не изменится, если шары поменяются местами. Пример 4. Через блок в виде сплошного диска, имеющего массу = 80 г. (Рис. 2) перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами = 100 г и = 200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением нити пренебречь.
Рис. 2 Решение: Воспользуемся основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движения. Для этого рассмотрим силы, действующие на каждый груз в отдельности и на блок. На первый груз действуют две силы: силы тяжести и сила упругости (сила натяжения нити) . Спроектируем эти силы на ось , которую направим вертикально вниз и напишем уравнение движения (второй закон Ньютона) в координатной форме: (1) Уравнение движения для второго груза запишется аналогично: (2) Под действием двух моментов сил и относительно оси , перпендикулярной плоскости чертежа, блок приобретает угловое ускорение . Согласно основному уравнению динамики вращательного движения (3) где момент инерции блока (сплошного диска) относительно оси z. Согласно третьему закону Ньютона, силы и по абсолютному значению равны силам и .Воспользовавшись этим, поставим в уравнение (3) вместо и выражения для и , получив их предварительно из уравнений (1) и (2): После сокращения на и перегруппировки найденных членов найдем интересующее нас ускорение. (4) Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому массы и можно выразить в граммах, так, как они даны в условии задачи. Ускорение надо выразить в единицах СИ. После подстановки получим: Пример 5. Маховик в виде сплошного диска радиусом = 0, 2 м и массой = 50 кг раскручен до частоты вращения = 480 мин-1 и предоставлен самому себе. Под действием силы трения маховик остановился через t = 50 с. Найти момент сил трения. Решение: Для решения задачи воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения в виде: (1) где - изменение момента импульса маховика, вращающегося относительно оси z, совпадающей с геометрической осью маховика, за интервал времени , - момент внешних сил (в нашем случае момент сил трения), действующих на маховик относительно той же оси. Момент сил трения можно считать не изменяющимся с течением времени (), поэтому интегрирование уравнения (1) приводит к выражению (2) При вращении твердого тела относительно неподвижной оси изменение момента импульса: (3) где - момент инерции маховика относительно оси z, - изменение угловой скорости маховика. Приравняв правые части равенства (2) и (3), получим откуда (4) Момент инерциимаховика в виде сплошного диска определяется по формуле (5) Изменение угловой скорости выразим через конечную и начальную частоты вращения, пользуясьсоотношением . Подставив в формулу(4)найденное выражение и , получим (5) Проверим, совпадают ли размерности правой и левой частей равенства (5). Размерность левой части: Размерность правой части: что совпадает с размерностью левой части. Выпишем величины, входящие в формулу (5) и произведем вычисления: = 50 кг, = 0, 2 м, = 480 мин, = 0, Dt = 50 с Знак минус показывает, что силы трения оказывают на маховик тормозящее действие. Пример 6. Точка совершает гармонические колебания с частотой 10 Гц (Рис. 3). В момент времени, принятый за начальный, точка имела максимальное смещение = 1 мм. Написать уравнение колебаний точки и начертить график. Решение: Уравнение колебаний точки можно записать в виде , (1) или , (2) где - амплитуда колебаний, - циклическая частота, - время, и - начальные фазы, соответствующие форме записи (1) и (2). По определению, амплитуда колебаний . (3) Циклическая частота связана с частотой соотношением . (4) Начальная фаза колебаний зависит от формы записи. Если использовать формулу (1), то начальную фазу можно определить из условия в момент t = 0: откуда , или (5) Изменение фазы на не изменяет состояния колебательного движения, поэтому можно принять (6) В случае второй формы записи получаем или По тем же соображениям, что и в первом случае, находим . (7) С учетом равенства (3) - (6) уравнения колебаний будут иметь вид: где x max = 1 мм = 10-3 м , v = 10 Гц.
|