Краткие теоретические сведения. Расчет электродинамических сил базируется на уравнении Ампера или уравнении энергетического баланса

Расчет электродинамических сил базируется на уравнении Ампера или уравнении энергетического баланса.

Первый метод удобно использовать, если известна индукция в любой точке проводника, для которого необходимо определить силу.

Полная сила , действующая на проводник длиной , определяется по закону Ампера (4.1), а направление силы – по правилу левой руки

(4.1)

где – элемент проводника с током; – длина проводника; – индукция магнитного поля, создаваемого другими проводниками; – ток проводника; – угол между элементом проводника и вектором индукции.

При расчете электродинамических сил токоведущих контуров, выполненных в виде витков или катушек (дугогасительные обмотки контакторов, автоматов, обмотки трансформаторов тока, реакторов) используют энергетический метод и выражение

(4.2)

где – электромагнитная энергия; – координата, в направлении которой действует определяемая сила (обобщенная координата).

Уравнение (4.2) выражено в частных производных, так как изменение магнитной энергии нужно находить при изменении лишь той координаты, которую стремится изменить определяемая электродинамическая сила. Например, при определении силы, разрывающей виток с током, обобщенной координатой является радиус витка; при определении силы между двумя витками с токами обобщенной координатой является расстояние между ними.

Для системы двух взаимосвязанных контуров электромагнитная энергия определяется как

где – собственные индуктивности контуров; – токи в контурах; – взаимная индуктивность.

Соотношение (4.2) позволяет рассчитать как силы, действующие в изолированном контуре, так и силы, действующие между контурами.

Для определения сил внутри одного независимого контура пользуются уравнением . При расчете силы взаимодействия контуров принимается, что энергия изменяется только в результате изменения взаимного расположения контуров. При этом энергия, обусловленная собственной индуктивностью контура, считается неизменной, а сила взаимодействия между контурами равна

Энергетический метод удобен для использования, если известна аналитическая зависимость индуктивности или взаимной индуктивности от геометрических размеров токоведущих контуров.

Из (4.2) следует, что положительному направлению электродинамической силы соответствует возрастание энергии системы контуров Деформация контура или его перемещение происходит под действием силы таким образом, чтобы электромагнитная энергия системы возрастала.

Электродинамические силы между параллельными проводниками можно рассчитать на основе выражения (4.1), так как в этом случае легко определить индукцию в любой точке пространства.

Если проводники бесконечно тонкие (ток сосредоточен в геометрической оси проводников), то электродинамическая сила, действующая на проводник, равна

(4.3)

где – магнитная проницаемость воздуха; – геометрический фактор (коэффициент контура электродинамических сил), зависящий только от размеров проводников и их расположения.

В случае бесконечно длинных проводников и .

Для двух параллельных проводников разной длины геометрический фактор рассчитывается по формуле

где – сумма диагоналей трапеции, построенной на взаимодействующих проводниках; - суммарная длина боковых сторон этой трапеции.

При расчете электродинамических сил должно быть учтено взаимное расположение проводников с токами, а также форма и размеры их сечений.

Для случая произвольного расположения проводников величина электродинамической силы может быть найдена по (4.3). При этом значение геометрического фактора определяется по таблицам, приведенным в литературе (табл. П.12).

Круглая и кольцевая формы сечения проводников не влияют на величину электродинамических сил, так как магнитные силовые линии вокруг проводников представляют в этом случае (как и в случае бесконечно тонких проводников) окружности и можно считать, что ток сосредоточен в геометрической оси проводника. Это утверждение справедливо только при постоянном токе. Проявление эффекта близости при переменном токе в круглых проводниках может изменить значение электродинамической силы.

При прямоугольной форме сечения размеры проводника влияют на величину электродинамических сил, так как магнитные силовые линии являются овалами. Это влияние учитывается с помощью коэффициента формы , который определяется аналитически, либо по кривым, приведенным в справочной литературе (рис. П.5). Значение электродинамических сил находится как

(4.4)

Электродинамические силы витка, катушки, между витками и между катушками рассчитываются по энергетической формуле.

Индуктивность кругового витка с током при ( – радиус проводника, – радиус витка) индуктивность витка Гн. При протекании тока возникает сила , стремящаяся увеличить радиус витка, так как с ростом растет индуктивность и электромагнитная энергия витка.

Электродинамическая сила, приложенная к окружности длиной , определяется как

(4.5)

Сила, разрывающая виток (сила в сечении витка), определяется по формуле

(4.6)

Механические напряжения растяжения, возникающие в сечении витка от силы , не должны превышать допустимых величин.

Если круговой виток находится в равномерном магнитном поле, создаваемом другими проводниками, то необходимо учитывать дополнительную силу, обусловленную взаимодействием тока витка с внешним полем.

Для катушки, имеющей витков, индуктивность и сила возрастают пропорционально квадрату числа витков

(4.7)

Проводники катушки обтекаются током одного направления, при этом возникают силы притяжения между отдельными витками. В результате катушка подвергается действию электродинамических сил, сжимающих ее по высоте и увеличивающих средний диаметр.

Если расстояние между витками , соизмеримое с их диаметрами и , мало отличается от , то взаимоиндуктивность выражается формулой

(4.8)

где

Вертикальная составляющая электродинамической силы витка определяется как

(4.9)

Направление силы можно определить следующим образом: если потоки, создаваемые токами, направлены в одну сторону, то витки будут притягиваться (максимальное значение потокосцепления возникает при совпадении контуров), если в разные стороны – отталкиваться.

Радиальная составляющая силы от собственного тока и от взаимодействия этого тока с продольной составляющей поля другого витка определяется как

(4.10)

где при определении силы первого витка и при определении силы второго витка.

Электродинамические силы между цилиндрическими катушками определяются как

(4.11)

где – расстояние между катушками.

Производную определяют с помощью семейства кривых Двайта или Хака в зависимости от величины (отношения высоты к среднему диаметру катушки) (рис. П.6).

Электродинамические силы при переменном токе изменяются во времени, причем для однофазной цепи сила не меняется по знаку, а для трехфазной – меняется. Для расчета аппаратов важно знать максимальное значение этой силы. Расчет электродинамических сил, действующих на токоведущие части аппаратов на переменном токе, производится теми же методами и по тем же зависимостям, что и при постоянном токе.

Обобщенную зависимость силы от тока можно представить в виде (4.4).

Для однофазного переменного тока эта зависимость выглядит как

(4.12)

где , – максимальное значение силы.

Из (4.12) видно, что сила имеет постоянную и переменную составляющие. Переменная составляющая меняется во времени с удвоенной частотой по сравнению с частотой переменного тока. Амплитуда переменной составляющей равна по значению амплитуде постоянной составляющей.

Расчет электродинамических сил на переменном токе проводят по максимальному значению тока для наиболее тяжелого случая (короткое замыкание при наличии апериодической составляющей тока). При этом значение силы

(4.13)

Ударный коэффициент зависит от мощности установки, расположения аппарата и вида цепи. При расчетах обычно принимают

Для трехфазной системы токов, в которой токи сдвинуты на , сила меняет знак и достигает в определенные моменты времени максимальных значений отталкивания и притягивания. Причем, максимальные значения отталкивающих и притягивающих сил равны и имеют место в средней фазе

(4.14)

С учетом апериодической составляющей максимальная электродинамическая сила, действующая на провод средней фазы, определяется как

(4.15)