Лекция 3. Определение предела функции

 

Определение предела функции

 

Рассмотрим теперь действительную функцию действительной переменной x с областью определения D(y), и пусть b – либо действительное число, либо бесконечно удаленная точка (то есть или просто ).

Определение 8. 1) Предположим, что существует хотя бы одна последовательность D(y), строго стремящаяся к a. Точка b называется пределом функции при x стремящемся к a, если для любой последовательности D(y), строго стремящейся к a, выполняется соотношение: . Тот факт, что b является пределом функции при х стремящемся к a, обозначают так: .

2) Предположим, что существует хотя бы одна последовательность D(y), строго монотонно возрастающая (соответственно, строго монотонно убывающая) к a. Точка b называется левым (соответственно правым) пределом функции при x стремящемся к a, если для любой последовательности D(y), строго монотонно возрастающей (соответственно, строго монотонно убывающей) к a, выполняется соотношение: . Обозначение левого предела: (соответственно, правого предела: ). Ÿ

Отметим, что из определения 8 сразу вытекает, что если предел (левый предел, правый предел) функции существует, то этот предел единственен.

Пример 4. Рассмотрим функцию

.

Ее график имеет вид:

Заметим, что данная функция не определена в точке . Однако этот факт не влияет на вычисление предела (левого предела, правого предела) функции при стремлении x к этой точке, так как последовательность , фигурирующая в определении 8, не посещает предельную точку .

Рассмотрим сначала последовательность , строго монотонно возрастающую к , и обозначим Так как N , то, используя вид нашей функции, получаем: . Из рисунка видно, что при последовательность . Это также можно вычислить аналитически, используя свойства предела последовательности (которые верны также для левых и правых пределов): . Это означает, что .

Рассмотрим теперь последовательность , строго монотонно убывающую к , и обозначим Так как N , то, используя вид нашей функции, получаем: . Опять из рисунка видно, что при последовательность . Это же можно вычислить аналитически: . Это означает, что .

Ясно, что не существует. Действительно, рассмотрим последовательность , которая, очевидно, строго стремится к точке . Однако для последовательности соответствующих значений функции , то есть для последовательности , получаем приблизительно такую же ситуацию, какую мы имели в пункте 2) примера 2. Поэтому эта последовательность расходится и, согласно пункту 1) определения 8, получаем, что не существует. Читателю предлагается скрупулезно произвести все необходимые рассуждения.

€

Пример 5. Переместим параллельно самой себе правую ветвь графика из примера 4 на 2 единицы вниз. Получим следующий график:

Это график функции:

.

Рассуждая так же, как в примере 4, легко получить, что , , и предел функции при существует и равен 1, то есть .

€

Примеры 4 и 5 побуждают нас сформулировать следующую теорему, доказательство которой мы опускаем.

Теорема 2. Если , то .

€

Читателю предлагается подумать, как можно сформулировать обратную теорему.

Пример 6. Рассмотрим функцию , где e – натуральное число (см. определение 6). Из школьного курса математики известно, что D(y)= . Рассмотрим точку . Очевидно, что не существует последовательности D(y), стремящейся к . Поэтому бессмысленно говорить о пределе функции при (именно поэтому в определении 8 требуется существование хотя бы одной последовательности D(y), строго стремящейся к предельной точке a).

Пусть теперь . Ясно, что не существует последовательности D(y), строго монотонно возрастающей к (то есть о левом пределе говорить бессмысленно). Однако существуют последовательности D(y), строго монотонно убывающие к (например, можно взять ). Легко видеть (постройте график!), что для таких последовательностей . Это означает, что . Вместе с этим и .

€

 

Свойства предела функции

 

Во всех нижеперечисленных свойствах, если речь идет о двух функциях и , то предполагается, что существует последовательность D(f)Ç D(g), строго стремящаяся к a.

1. Предел константы равен самой этой константе, то есть если то

.

2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, то есть если и существуют и конечны, то

= + .

3. Постоянный множитель можно вынести за знак предела, то есть если и существует и конечен, то

.

4. Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций, то есть если и существуют и конечны, то

.

5. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций, то есть если и существуют, конечны и , то

.

6. Если в некоторой окрестности точки a (исключая, быть может, саму точку a) и пределы и существуют, то

.

7. Если = = b и если в некоторой окрестности точки a (исключая, быть может, саму точку a) то предел функции существует и

.

8. Если в некоторой окрестности точки a (исключая, быть может, саму точку a) функция ограничена (то есть , такое, что в этой окрестности ), а , то

.

Доказательства всех этих свойств немедленно следуют из определения 8 и соответствующих свойств предела последовательности.

€

 

Замечательные пределы

 

1. (первый замечательный предел).

Доказательство. Прежде всего покажем, что при выполняется неравенство:

(4)

Обозначим площадь сектора AOB построенного единичного круга через S. Тогда . Имеем: , , . Отсюда получаем выполнение (4). Поделив неравенство (4) на , получим: . Применяя в последнем неравенстве левую часть неравенства (4), получаем неравенство: . В силу четности функций и последнее двойное неравенство справедливо не только при , но и при . Так как , то по свойству 7 предела функции имеем: , откуда немедленно следует равенство . œ

2. (второй замечательный предел).

Доказательство опускается (см. пример 3 и определение 6). œ