Задача №5. Найти следующие пределы, используя правило Лопиталя

Найти следующие пределы, используя правило Лопиталя.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

 

Решение задачи №1

 

Для решения примеров на вычисление производной необходимо выучить наизусть правила дифференцирования, таблицу производных, а также нужно хорошо разбираться в порядке следования операций в математическом выражении. Весь этот материал изложен в лекции 1, где также вычислено большое число производных и приведены замечания, полезные при дифференцировании.

1) .

2)

.

3)

.

4)

.

5) .

6)

.

7)

.

8)

.

9) .

.

10)

.

11)

.

12)

.

13)

.

14)

.

15)

.

16)

.

 

 

Решение задачи №2

 

 

Примеры 1) и 2) связаны с вычислением производной функции, заданной неявно. Именно, если независимая переменная и функция связаны уравнением вида , которое не разрешимо в явном виде относительно , то называется неявной функцией переменной . Несмотря на то, что уравнение не разрешено относительно , оказывается возможным найти производную по . Для этого обе части данного уравнения дифференцируем по с учетом того, что есть функция от , и из полученного уравнения определяем .

1) Дифференцируем обе части уравнения по переменной . Получаем:

.

2)

.

 

Примеры 3) и 4) связаны с вычислением производной функции, заданной параметрически. Если система уравнений , где и – дифференцируемые функции и , определяет как функцию от , то производная существует и вычисляется по формуле:

12) Рассмотрим систему , которую будем мыслить как функцию .

Находим и : , .

Получаем: .

Ответ:

 

13) Пусть . Находим и : , .

Получаем: .

 

Ответ:

 

 

Решение задачи №3

 

1) Область определения функции – вся числовая ось. На интервалах , , функция непрерывна. Разрывы возможны лишь в точках и . Найдем односторонние пределы функции в точке :

,

.

Итак, у функции существуют и левосторонний предел , и правосторонний предел , но между собой они не равны. Поэтому точка является для заданной функции точкой разрыва первого рода (эти точки разрыва характеризуются тем, что левый и правый пределы конечны).

Рассмотрим точку :

,

.

Значение функции в точке равняется . Так как , то в точке функция непрерывна.

Итак, функция непрерывна на множестве .

 

2) Область определения функции есть множество . На интервалах , функция непрерывна. Поэтому разрыв возможен только в точке . Найдем односторонние пределы функции в точке :

,

.

Поэтому точка является для заданной функции точкой разрыва второго рода (эти точки разрыва характеризуются тем, что хотя бы один из односторонних пределов бесконечен).

Итак, функция непрерывна на множестве .

3) Область определения функции – вся числовая ось кроме точек 1 и –2. Поэтому разрывы возможны только в этих точках.

Найдем односторонние пределы функции в точке :

,

.

Итак, точка – точка разрыва второго рода.

Рассмотрим точку :

,

.

Итак, точка – также точка разрыва второго рода.

Таким образом, функция непрерывна на множестве .

4) Область определения функции – вся числовая ось, кроме точки –3. На интервалах , функция непрерывна. Поэтому разрыв возможен только в точке . Найдем односторонние пределы функции в точке :

,

.

Итак, точка – точка разрыва второго рода.

Функция непрерывна на множестве .

 

Решение задачи №4

 

Перед решением примеров данного раздела следует изучить лекции 4 и 5.

1) Здесь имеет место неопределенность . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби:

.

2) Вычислим отдельно предел числителя и знаменателя. Имеем:

, .

Поэтому, из соотношения (12) на стр.20 получаем:

.

3) По теореме 6 на стр. 18 при многочлен эквивалентен своему одночлену с наивысшей степенью. По теореме 7 на стр. 18 числитель и знаменатель можно заменить на эквивалентные им функции. Имеем:

.

4) Из цепочки эквивалентностей (8) на стр. 17 получаем и . Заменяя эквивалентной ей функцией и – функцией , получаем:

.

5) Решение этого примера аналогично решению примера 4. При , . Заменяя числитель и знаменатель эквивалентными им функциями, получаем:

.

6) При имеем: , . Получаем:

.

 

7) Имеем: .

В процессе решения мы применили эквивалентность .

8) Здесь имеет место неопределенность . Перенесем иррациональность в знаменатель, для чего умножим числитель и знаменатель на . Получаем:

.

9) Разделив и умножив дробь на сопряженные выражения для числителя и знаменателя, получаем:

.

10) Решение этого примера совершенно аналогично решению примера 3. А именно, используя эквивалентность (9), получаем:

.

11) Сперва применяем формулу преобразования суммы синусов в произведение, а затем используем 4–е свойство предела функции (стр.13):

12) Решение аналогично решению примеров 3 и 10:

.

13) .

В процессе решения мы применили эквивалентность .

14) Перед решением этого примера следует просмотреть пример 19 на стр. 22. Обозначим

и прологарифмируем данное равенство. Получаем:

(мы применили эквивалентность ). Перейдем теперь от логарифма к самой функции:

.

 

Решение задачи №5

 

Для решения примеров этого раздела необходимо изучить теорему Лопиталя (см. теорему 9 на стр. 20-21). Правило Лопиталя применяют повторно, пока не устранится неопределенность или обнаружится, что нужные пределы не существуют.

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7)

.

8) .

9)

.

10) .

11) Обозначим . Имеем: . Далее:

.

Окончательно: .