Лекция 5. Техника вычисления пределов

 

Техника вычисления пределов

 

В данной лекции мы, в основном, будем иметь дело с пределами от элементарных функций. Используя теорему 4, легко вычислить предел такой функции, когда точка, к которой стремится аргумент, принадлежит области определения функции. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 9. Вычислить предел: . Так как в точке знаменатель функции, стоящей под знаком предела, неравен нулю, то эта функция непрерывна в точке . Следуя определению 9, для подсчета b достаточно вычислить эту функцию при , то есть . €

Наша основная задача – научится вычислять пределы, когда точка, к которой стремится аргумент, не принадлежит области определения функции, но " примыкает" к области определения.

Пример 10. Вычислить предел: . Очевидно, точка не принадлежит области определения функции, стоящей под знаком предела, поэтому определение 9 неприменимо. Однако, первый сомножитель функции, стоящей под знаком предела, ограничен при , так как

,

а второй сомножитель – б.м.ф. при , так как . По свойству 8 предела функции . €

Следующая теорема аккумулирует предельные соотношения, хорошо известные из школьного курса математики.

Теорема 8. 1) Если , то , ; если же , то , а .

2) Если , то , ; если же , то , а . В частности, , .

3) Если , то , ; если же , то , а . В частности, , .

4) .

5) .

6) . €

Читателю рекомендуется просмотреть все эти равенства на графиках функций.

Запишем некоторые соотношения, связанные с символом . Принимая во внимание лемму 2, можно записать:

.

(11)

Легко также обосновать следующие соотношения (здесь c – ненулевая константа):

, .

(12)

Неопределенностями будем называть выражения вида:

(13)

и т.д. Соотношения типа (11) и (12), а также неопределенности типа (13) нетрудно записать и для символов .

Пример 11. Вычислим предел . Применив эквивалентность (9) и теорему 7, получаем: . Последнее равенство взято из (12).

€

Пример 12. Вычислим предел . Переходя к пределу в каждом из радикалов, получаем неопределенность вида . Разделив и умножив выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное выражение , имеем:

.

€

Пример 13. Вычислим предел . Подставив отдельно в числитель и знаменатель, убеждаемся, что получили неопределенность вида . Так как при имеем , то для числителя верна цепочка эквивалентностей при :

~ ~ .

Аналогично, для знаменателя получаем:

~ ~ .

По теореме 7 .

€

 

Правило Лопиталя

 

Сейчас мы покажем, как можно вычислять пределы, используя понятие производной (см. вводную лекцию).

Теорема 9 (правило Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a (за исключением, быть может, самой точки a) и в этой окрестности Предположим, что:

1) (то есть при дробь превращается в неопределенность типа );

2) (где b – действительное число либо одна из точек: или ).

Тогда .

Теорема остается справедливой, если вместо условия 1) потребовать выполнение следующего условия:

(то есть при дробь превращается в неопределенность типа ).

Мы дадим доказательство этой теоремы после более глубокого изучения понятия производной.

€

Заметим, что теорема 9 остается справедливой, если в ее формулировке вместо символа везде писать или . В частности, данная теорема справедлива, когда или .

Пример 14. Вычислим предел . Очевидно, здесь мы имеем неопределенность типа . Применяем правило Лопиталя:

	.
	€

Пример 15. Вычислим предел . В силу непрерывности логарифмической функции, пункта 2) леммы 1 и пункта 6) теоремы 8 получаем, что предел второго сомножителя равен . То есть в данном случае мы получаем неопределенность типа . Преобразуем ее к неопределенности типа и применим правило Лопиталя:

	.
	€

При решении предыдущего примера мы использовали не только правило Лопиталя, но, заменив в знаменателе на , применили эквивалентность (9). На самом деле, при вычислении многих пределов применение правила Лопиталя часто комбинируется с применением эквивалентностей.

Пример 16. Имеем:

.

€

Пример 17. 1) Докажем, что если , то

.

(14)

Применяя теорему 8 и правило Лопиталя, имеем: .

2) Докажем, что если и , то

.

(15)

Имеем: .

€

Пример 18. Докажем, что при

.

(16)

При равенство (16) очевидно. Пусть . Пусть n – наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству . Применяя n раз правило Лопиталя, получим:

.

€

Определение 13. Будем говорить, что функция " много меньше" функции при (обозначается при ), если .

€

Из равенств (14) и (16) следует, что если , то при .

Теорема 10. Если при , то ~ при .

Доказательство тривиально.

€

Пример 19. Вычислим предел . Имеем: . По правилу Лопиталя (в предпоследнем равенстве была применена теорема 10 и замечание перед ней). Окончательно: . €