Лекция 4. Определение 9. Функция называется непрерывной в точке D(y), если

 

Непрерывные функции

 

Определение 9. Функция называется непрерывной в точке D(y), если

.

(5)

Если равенство (5) не выполняется, то функция называется разрывной в точке a.

В примерах 4 и 5 рассматриваемые функции не были определены в точке , поэтому не имеет смысла говорить о непрерывности этих функций в данной точке.

Пример 7. Рассмотрим функцию из примера 5, но " доопределенную" в точке :

.

(6)

График этой функции имеет вид:

Согласно определению 8, вычисляя предел функции при мы не используем значение функции в точке a. Поэтому предел, вычисленный нами в примере 5, сохраняет свое значение, то есть и в данном случае . Значение же функции в точке , согласно формуле (6), равно . Равенство (5) не выполняется, поэтому данная функция разрывна в точке . Геометрически это выглядит как разрыв графика в исследуемой точке.

€

Пример 8. Изменим значение функции из примера 7 только в одной точке, положив . График полученной функции имеет вид:

 

Переопределением функции в точке мы ликвидировали разрыв графика в этой точке. Теперь получаем: . Равенство (5) имеет место, то есть данная функция непрерывна в точке .

€

Определение 10. Функция называется непрерывной на множестве D(y), если она непрерывна в каждой точке этого множества.

€

Легко видеть, что в примерах 4–7 исследуемые функции непрерывны всюду на числовой прямой за исключением точки , а в примере 8 функция непрерывна во всех точках прямой.

Следующая лемма будет полезна при доказательстве свойств непрерывных функций.

Лемма 1. 1) Пусть , функция строго монотонно возрастает (или строго монотонно убывает) в тех точках окрестности a, в которых она определена, а функция имеет предел при .Тогда .

2) Если , а функция непрерывна в точке , то .

Доказательство этой леммы почти очевидно и предоставляется читателю.

€

 

Свойства непрерывных функций

 

1. Постоянная функция непрерывна.

2. Сумма двух непрерывных функций непрерывна.

3. Произведение непрерывной функции на число есть непрерывная функция.

4. Произведение двух непрерывных функций непрерывно.

5. Частное двух непрерывных функций непрерывно в точках, в которых знаменатель неравен нулю.

6. Сложная функция, состоящая из двух непрерывных функций, непрерывна (определение сложной функции содержится в вводной лекции в шестом правиле дифференцирования).

Доказательство. Доказательство свойств 1–5 непосредственно следуют из соответствующих свойств предела функции. Докажем свойство 6.

Пусть функция непрерывна в точке (то есть ), а функция непрерывна в точке . По пункту 2) леммы 1 имеем: , то есть функция непрерывна в точке .

€

Теорема 3. Основные элементарные функции (то есть функции, представленные в таблице производных из вводной лекции) непрерывны на своих областях определения.

Доказательство. Докажем теорему только для тригонометрических функций. Во-первых, используя первый замечательный предел, получаем:

Далее, по известной формуле: . Так как , а по предыдущему замечанию и свойству 6 непрерывных функций , то по свойству 8 предела функции имеем: . Отсюда немедленно следует соотношение , которое и доказывает непрерывность функции при любом действительном a.

Для доказательства непрерывности функции достаточно применить формулу приведения , непрерывность синуса и свойство 6 непрерывных функций.

Непрерывность функций и (на своих областях определения) следует из непрерывности синуса и косинуса и свойства 5 непрерывных функций.

€

Теорема 4. Все элементарные функции (то есть те функции, которые образованы из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и взятия сложных функций) непрерывны на своих областях определения.

Доказательство немедленно следует из теоремы 4 и свойств непрерывных функций.

€

 

Эквивалентные функции. Бесконечно малые функции (б.м.ф.)

и бесконечно большие функции (б.б.ф.).

 

В последующей части данной лекции мы предполагаем, что a – либо действительное число, либо одна из бесконечно удаленных точек: или просто .

Определение 11. Функции и называются эквивалентными при , если

.

(7)

Обозначение эквивалентности функций таково: ~ при .

Аналогично определяются и обозначаются эквивалентные функции при и .

€

Заметим, что в силу свойства 5 предела функции, равенство (7) равносильно равенству .

Определение 12. Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при , если . Функция называется бесконечно большой функцией (б.б.ф.) при , если .

€

Легко видеть, что бесконечно малая функция может быть эквивалентна только бесконечно малой функции, а бесконечно большая функция – только бесконечно большой.

Теорема 5. При справедлива следующая цепочка эквивалентных б.м.ф.:

x ~ ~ ~ ~ ~ ~

(8)

Доказательство. Первая эквивалентность – это просто первый замечательный предел. Вторая эквивалентность следует из первой и из непрерывности косинуса:

.

Докажем третью эквивалентность. Представим , где , а – строго монотонно возрастающая функция. Используя пункт 1) леммы 1, а также равенство , следующее из непрерывности функции арксинус, получаем:

.

Четвертая эквивалентность доказывается так же, как третья. Докажем пятую эквивалентность. Имеем:

.

Здесь были применены свойство логарифмов, второй замечательный предел и пункт 2) леммы 1, который следует из непрерывности логарифма. Для доказательства последней эквивалентности применим представление: , где , а – строго монотонно возрастающая функция. Используя пункт 1) леммы 1, а также равенство , следующее из непрерывности показательной функции, получаем:

	.
	€

Связь между б.м.ф. и б.б.ф. устанавливает следующая

Лемма 2. Если при – б.б.ф., то – б.м.ф. Наоборот, если при – б.м.ф., то – б.б.ф.

Доказательство предоставляется читателю. €

Теорема 6. При справедлива следующая эквивалентность многочлена своей старшей степени:

~ ,

(9)

где .

Доказательство. Имеем:

	.

Последние предельные соотношения следуют из леммы 2.

€

При вычислении пределов с помощью эквивалентных функций весьма полезна следующая простая

Теорема 7. Если при ~ и ~ , то

(10)

в случае, когда один из этих пределов существует.

Доказательство. Имеем:

.

€

Заметим, однако, что если даже внутрь одной функции засунуть две эквивалентные функции, то полученные функции, вообще говоря, будут неэквивалентными. Например, по теореме 6 при ~ . Подставив эти функции внутрь функции , получим функции и . Имеем:

.

То есть при функции и неэквивалентны.